A Penny játéka egy nem tranzitív paradoxon , amelyet Walter Penny talált .
A paradoxon leírása először 1969 októberében jelent meg a Journal of Recreational Mathematics -ban . Ennek a paradoxonnak a lényege a következő: játsszon A és B egy ilyen játékot – először A választ egy tetszőleges bináris sorozatot (például nullákból és egyesekből), amelynek hossza 3, és megmutatja B játékosnak. Ezután B megteszi a következőt: azonos. Ezután a játékosok felállítanak egy véletlenszerű bináris sorozatot, amelyben a 0 és az 1 előfordulása egyenlő valószínűséggel (például feldobnak egy érmét, miközben a fejeket 1- nek, a farkokat pedig 0-nak számolják). Az a játékos nyer, akinek a sorozata először fordul elő ebben a véletlenszerű sorozatban. Például hagyja, hogy A játékos válasszon hármas 001-et, és B játékos hármas 100-at. Kapjuk meg az 10100 véletlenszerű sorozatot egy érme ötszöri feldobásával. Az utolsó 3 számjegy - 100 - egyezik a B játékos által választott hármassal, és tripla. A nem találkozott, így az 5. érmefeldobás után B játékos nyer. A paradoxon abban rejlik, hogy az A játékos bármely hármasánál van egy hármas, amely 1/2-nél nagyobb valószínűséggel nyer ellene. Vagyis nincs „legerősebb” hármas, minden hármasnál van „erősebb” hármas, amely több mint fele valószínűséggel veri. A B játékos nyerési esélye legrosszabb esetben 2/3. Ha a hármasokról a négyes kimenetelre lépünk át, akkor a B játékos esélye még nagyobb lesz a győzelemre.
Martin Gardner így ír erről:
Ez a helyzet kevéssé ismert, és a legtöbb matematikus egyszerűen nem hiszi el, amikor meghallja Penny felfedezését. Minden bizonnyal ez a legszebb csalás (ha egy csalás szép lehet), egy egyszerű embernek készült.
– Gardner Martin. "Időutazás" [1]A következő táblázat mutatja a B játékos három kimenetelű nyerési valószínűségét.
| DEB | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 000 | 1/2 | 2/5 | 2/5 | 1/8 | 5/12 | 3/10 | 1/2 | |
| 001 | 1/2 | 2/3 | 2/3 | 1/4 | 5/8 | 1/2 | 7/10 | |
| 010 | 3/5 | 1/3 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 3/8 | 7/12 | |
| 011 | 3/5 | 1/3 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 3/4 | 7/8 | |
| 100 | 7/8 | 3/4 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/3 | 3/5 | |
| 101 | 7/12 | 3/8 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/3 | 3/5 | |
| 110 | 7/10 | 1/2 | 5/8 | 1/4 | 2/3 | 2/3 | 1/2 | |
| 111 | 1/2 | 3/10 | 5/12 | 1/8 | 2/5 | 2/5 | 1/2 |
A nyerő hármas megtalálásához a táblázat felső sorában keresse meg az A játékos hármasát, és annak oszlopában keresse meg a maximális számot. A bal oldali oszlopban ezzel a számmal jelölt sorban lesz B játékos hármasa, amely a legnagyobb valószínűséggel nyer A játékos adott hármasával szemben. Például hagyja, hogy A játékos válassza ki a tripla 000-et. A táblázat 1. oszlopában a legnagyobb számot keressük, ez a 7/8. A 7/8-as sor bal oldali oszlopában a B 100 játékos tripláját olvashatjuk, amely 7/8-as valószínűséggel nyer a tripla 000 ellen. Valójában, ha a sorozat nem 000-nél kezdődik az érme feldobásakor, akkor amikor ez a három egyfajta először jelenik meg véletlenszerű sorrendben, egy 1-es előzi meg, ami azt jelenti, hogy a 100-ból három korábban találkozott, és a játékos B nyert. A hármas 000 csak akkor nyer a tripla 100 ellen, ha a 000 a véletlenszerű sorozat legelején fordul elő, és ennek a valószínűsége 1/8.
Az első játékos számára optimális stratégiát (bármilyen legalább 4-es sorozathossz esetén) Chirik János magyar matematikus és kriptográfus találta meg [2] .