A grafén sávszerkezete

A grafén sávszerkezetét 1947-ben számították ki a cikkben [1] . A szénatom külső héján 4 elektron található, amelyek közül három sp² hibrid kötést képez a rács szomszédos atomjaival, a maradék elektron pedig 2p z állapotban van (ez az állapot felelős a grafitban a síkközi kötések kialakulásáért ). Véleményünk szerint ez a felelős a grafén energiasávok kialakulásáért.

Következtetés

Az erősen kötött elektronok közelítésében a kristályban lévő összes elektron teljes hullámfüggvénye felírható a különböző részrácsokból származó elektronok hullámfüggvényeinek összegeként.

\psi =\phi _{1}+\lambda \phi _{2},\qquad (1.1)

ahol a λ együttható az (1.6) egyenletrendszerből meghatározott paraméter. Az egyenletben szereplő és hullámfüggvények , amelyek jelentésükben a hullámfüggvények amplitúdóit jelentik a kristály bizonyos részrácsán, a kristály különböző részrácsaiban lévő egyes elektronok hullámfüggvényeinek összegeként lesznek felírva. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

\phi _{1}=\sum _{A}e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{A}}X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A}),\qquad (1,2)

\phi _{2}=\sum _{B}e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{B}}X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{B}).\qquad (1.3)

Itt vannak a és a kristályrács csomópontjaira irányított sugárvektorok, és a és az ezen csomópontok közelében lokalizált elektronok hullámfüggvényei. Az erősen kötött elektronok közelítésénél figyelmen kívül hagyhatjuk a szomszédos atomok hullámfüggvényeinek átfedését. ${\mathbf {r}}_{A}$ ${\mathbf {r}}_{B}$ $X({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{A})$ $X({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{B})$

S_{12}=\int {X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A})X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{B})d\mathbf {r} }=0\qquad (1,4)

Most a hullámfüggvényünket (1.1) behelyettesítve a Schrödinger-egyenletbe, a következő egyenletrendszert kapjuk a hordozók energiaspektrumára és az ismeretlen λ paraméterre $H\psi =E\psi$

H_{11}+\lambda H_{12}=ES+ES_{12}\lambda

H_{21}+\lambda H_{22}=\lambda ES+ES_{12}\qquad (1.5)

vagy mátrix formában

\left({\begin{array}{cc}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\\\end{array}}\right)\left({\begin {array}{cc}1\\\lambda \\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}ES&ES_{12}\\ES_{12}&ES\\\end {tömb}}\jobbra)\left({\begin{array}{cc}1\\\lambda \\\end{tömb}}\jobbra)\qquad (1.6)

ahol az integrálok alábbi jelölését használjuk

H_{jj}=\int \phi _{j}^{*}H\phi _{j}d\mathbf {r} \qquad (1.7)

H_{12}=H_{21}^{*}=\int \phi _{1}^{*}H\phi _{2}d\mathbf {r} \qquad (1.8)

S=\int \phi _{j}^{*}\phi _{j}d\mathbf {r} \qquad (1.9).

Ami E -re megoldható .

E={\frac {1}{2S}}\left(H_{11}+H_{22}\pm {\sqrt {(H_{11}-H_{22})^{2}+4 |H_{12}|^{2}}}\jobbra)\qquad (1,9)

Itt néhány egyszerűsítést lehet tenni.

S=N,

H_{11}=H_{22},

H_{11}^{\,'}=H_{22}^{\,'}={\frac {1}{N}}H_{11}={\frac {1}{N}} H_{22},

H_{12}^{\,'}={\frac {1}{N}}H_{12},\qquad (1.10)

ahol N a kristályban lévő egységcellák száma . Ezekkel az egyenlőségekkel jutunk el az egyenlethez

E=H_{11}^{\,'}\pm |H_{12}^{\,'}|\qquad (1,11)

Ezt az egyenletet is leegyszerűsítjük azzal, hogy megszabadulunk az első tagtól, amely egy bizonyos állandó energiának és egy kis energiaváltozásnak felel meg a második taghoz képest, amely megfelel az azonos részrácsból származó szomszédos atomok hullámfüggvényeinek átfedési integráljának. (A). Más szóval, a központi atom hullámfüggvényének kölcsönhatása a vörös körön elhelyezkedő atomok hullámfüggvényeivel (lásd 1. ábra). Minket csak a második taghoz tartozó spektrum szingularitása érdekel, amely a különböző (A) és (B) részrácsokból (a központi atomból és a zöld kör atomjaiból) származó legközelebbi atomok átfedési integráljaitól függ. Az energiaspektrum az űrlapba lesz írva

E=\pm |H_{12}^{\,'}|\qquad (1.12)

Az átfedési integrált így ábrázolhatjuk

\gamma _{0}=-\int {X^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {\rho } )HX(\mathbf {r} )d\mathbf {r} },\ qquad(1,13)

ahol a legközelebbi szomszédok pozícióira irányított sugárvektor. Az (1.2) és (1.3) hullámfüggvények (1.8) kifejezésbe való helyettesítése utáni mennyiségre azt kapjuk, hogy $\mathbf {\rho }$ ${\displaystyle H_{12}^{\,'))$

H_{12}^{\,'}={\frac {1}{N}}\sum _{A,B}{\exp {[-2\pi i\mathbf {k} \cdot ( \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B})]}\int {X^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A})HX(\ mathbf {r} -\mathbf {r} _{B})d\mathbf {r} }}.\qquad (1.14)

Innen, némi egyszerűsítés után és a legközelebbi szomszédok koordinátáinak felhasználásával (1.3), megkapjuk

H_{12}^{\,'}=-\gamma _{0}\left(\exp {[-2i\pi k_{x}(a/{\sqrt {3)))]}+ 2\cos {\pi k_{y}a}\exp {[2i\pi k_{x}(a/{\sqrt {3)))]}\jobbra).\qquad (1.15)

Ennek eredményeként eljutunk a számunkra érdekes energiaspektrumhoz

E=\pm {\sqrt {\gamma _{0}^{2}\left(1+4\cos ^{2}{\pi k_{y}a}+4\cos {\pi k_ {y}a}\cos {\pi k_{x}{\sqrt {3}}a}\right)))),\qquad (1.16)

ahol a "+" jel az elektronoknak, a "-" pedig a lyukaknak felel meg.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Wallace PR "The Band Theory of Graphite", Phys. Fordulat. 71 , 622 (1947) doi : 10.1103/PhysRev.71.622