Figyelemre méltó határok

Figyelemre méltó határértékeket használnak a matematikai elemzésről szóló szovjet és orosz tankönyvek , amelyek két jól ismert matematikai azonosságot jelölnek a határértékkel :

Az első figyelemre méltó határ: $\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
Második figyelemre méltó határ: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Első figyelemre méltó határérték

$\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Bizonyíték:

Tekintsünk egyoldalú határértékeket , és bizonyítsuk be, hogy egyenlők 1-gyel. $\lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}$ $\lim _{x\to {\displaystyle -}0}{\frac {\sin x}{x}}$

Tekintsük az esetet . Ábrázoljuk ezt a szöget az egységkörön úgy, hogy csúcsa egybeessen a koordináták origójával, az egyik oldala pedig a tengellyel . Legyen a szög második oldalának metszéspontja az egységkörrel, és az a pont , amelynek a kör érintője a pontban . A pont egy pont vetülete a tengelyre . $x\in \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)$ $ÖKÖR$ $K$ $L$ $A=\left(1;0\right)$ $H$ $K$ $ÖKÖR$

Nyilvánvaló, hogy:

{\displaystyle S_{\triangle OKA}<S_{sectKOA}<S_{\triangle OAL))

(egy)

(hol van a szektor területe ) $S_{sectKOA}$ $KOA$

Mert : $\left|KH\right|=\sin x,\,\left|LA\right|=\operátornév {tg} x$

S_{\triangle OKA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|KH\right|={\frac {1}{2}}\ cdot 1\cdot \sin x={\frac {\sin x}{2))

S_{sectKOA}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|^{2}\cdot x={\frac {x}{2}}

S_{\triangle OAL}={\frac {1}{2}}\cdot \left|OA\right|\cdot \left|LA\right|={\frac {\operátornév {tg} x} {2}}

Az (1)-be behelyettesítve a következőket kapjuk:

{\frac {\sin x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}

óta : $x\to +0:\sin x>0,\,x>0,\,\operátornév {tg} x>0$

{\frac {1}{\operatorname {tg} x}}<{\frac {1}{x}}<{\frac {1}{\sin x}}

Megszorozzuk a következővel: $\sin x$

\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1

Menjünk a határig:

\lim _{x\to +0}\cos x\leqslant \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1

1\leqslant \lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1

\lim _{x\to +0}{\frac {\sin x}{x}}=1

Keressük meg a bal oldali határértéket (mivel a függvény páros, ez nem szükséges, elég ezt bebizonyítani a jobb oldali határhoz):

\lim _{x\to -0}{\frac {\sin x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=-x\\x=-u\\u\to +0\\x\to -0\end{mátrix}}\right]=\lim _{u\to +0}{\frac {\sin(-u)}{-u}}=\lim _{ u\to +0}{\frac {-\sin(u)}{-u}}=\lim _{u\to +0}{\frac {\sin(u)}{u}}=1

A jobb és bal oldali határérték létezik, és egyenlő 1-gyel, ami azt jelenti, hogy maga a határérték egyenlő 1-gyel.

Következmények:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=1$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arcsin} x}{x}}=1$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {1-\cos x}{{\frac {x^{2}}{2}}}}=1$

Következmények bizonyítása

\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x\cos x }}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\ cdot 1=1

\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arcsin} x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\operatorname {arcsin} x\\x=\ sin u\\u\to 0\\x\to 0\end{mátrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\sin u}}=1

\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\operatorname {arctg} x\\x=\ operátornév {tg} u\\u\to 0\\x\to 0\end{mátrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\operatorname {tg} u} }=1

\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{\frac {x^{2}}{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cdot \sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}=\lim _{{\frac {x}{2}}\to 0}\balra({\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\jobbra) ^{2}=1^{2}=1

A második figyelemre méltó határ

$\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ vagy $\lim _{{x\to 0}}\left(1+x\right)^{{1/x}}=e$

A második figyelemre méltó határ meglétének bizonyítéka:

Az x természeti értékeinek igazolása

$\fekete háromszög bal$ Először bizonyítsuk be a tételt a sorozat esetére $x_{{n}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n};\ n\in {\mathbb N}$

Newton binomiális képlete szerint : $(a+b)^{n}=a^{n}~+~{\frac {n}{1}}\cdot a^{{n-1}}\cdot b~+~{\frac {n (n-1)}{1\cdot 2}}\cdot a^{{n-2}}\cdot b^{2}~+~...~+~{\frac {n(n-1) (n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n))\cdot b^{n};\ n\in {\ mathbb N}$

Feltételezve a következőket kapjuk: $a=1;~b={\frac {1}{n}}$

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1~+~{\frac {n}{1}}\cdot {\frac {1}{n}}~ +~{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}~+~{\frac {n(n-1)( n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot {\frac {1}{n^{3}}}~+~...~+~{\frac {n(n-1) (n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}\cdot {\frac {1}{n^{n} }}=

=1~+~1~+~{\frac {1}{1\cdot 2}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)~+~{\ frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n} }\jobbra)~+~...~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}\cdot \left(1-{\frac {1} {n}}\jobbra)\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot ...\cdot \left(1-{\frac {n-1}{n} }\jobb)

(egy)

Ahogy az (1) egyenlőség jobb oldalán lévő pozitív tagok száma növekszik, a szám növekszik. Ezenkívül a szám növekedésével a szám csökken, így az értékek nőnek. Ezért a sorozat növekszik , míg $n$ $n$ ${\frac {1}{n}}$ $\left(1-{\frac {1}{n}}\right),\left(1-{\frac {2}{n}}\right),...$ $\{x_{{n}}\}=\left\{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\};\ n\in {\mathbb N }$

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\geq 2,n\in \mathbb {N}

(2).

Mutassuk meg, hogy ez korlátos. Az egyenlőség jobb oldalán minden zárójelet eggyel helyettesítünk, a jobb oldal növekszik, megkapjuk az egyenlőtlenséget

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\ cdot 2\cdot 3}}~+~...~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}

Erősítjük a kapott egyenlőtlenséget, a törtek nevezőiben álló 3,4,5, ... helyére 2-es számot írunk:

\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^ {2}}}+...+{\frac {1}{2^{{n-1}}}}\jobbra)

A zárójelben lévő összeget a geometriai sorozat tagjainak összegének képletével találjuk meg:

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+...+{\frac {1}{2^{{n-1}}}} ={\frac {1\cdot \left(1-({\frac {1}{2)))^{n}\right)}{1-{\frac {1}{2))))=2 \cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)<2

Ezért (3). $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+2=3$

Tehát a sorozat felülről korlátos, míg a (2) és (3) egyenlőtlenségek teljesülnek: . $\forall n\in {\mathbb N}$ $2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<3$

Ezért a Weierstrass-tétel (egy sorozat konvergenciájának kritériuma) alapján a sorozat monoton növekvő és korlátos, ami azt jelenti, hogy van egy határértéke, amelyet e betűvel jelölünk . Azok. $x_{{n}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},\ n\in {\mathbb N}$ $\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e$ $\fekete háromszögjobb$

$\fekete háromszög bal$ Tudva, hogy a második figyelemre méltó határ igaz x természetes értékeire, igazoljuk a második figyelemre méltó határt valós x-re, vagyis azt, hogy . Vegyünk két esetet: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e;\ x\in {\mathbb R}$

1. Hagyjuk . Minden x érték két pozitív egész közé van zárva: , ahol az x egész része. $x\jobbra nyíl +\infty$ $n\leqslant x<n+1$ $n=[x]$

Ebből következik: ezért

{\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{x}}\leqslant {\frac {1}{n}}~~\Longleftrightarrow ~~1+{\frac {1}{ n+1}}<1+{\frac {1}{x}}\leqslant 1+{\frac {1}{n}}

\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x} \leqslant \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}

. Ha , akkor . Ezért a limitnek megfelelően a következőkkel rendelkezünk:

x\jobbra nyíl +\infty

n \jobbra \infty

\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e

\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n+1}}\jobbra)^{n}={\frac {\lim \limits _{{n\ to \infty }}(1+{\frac {1}{n+1}})^{{n+1}}}{\lim \limits _{{n\to \infty }}\left(1+ {\frac {1}{n+1}}\right)}}={\frac {e}{1}}=e

\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{{n+1}}=\lim _{{n\to \infty } }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot \lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{n }}\right)=e\cdot 1=e

. A határértékek megléte alapján (egy köztes függvény határán) .

\lim _{{x\to +\infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e

2 . Hadd . Akkor cseréljünk egyet $x\to -\infty$ $-x=t$

\lim _{{x\to -\infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{{t\to +\infty }}\ left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{{-t}}=\lim _{{t\to +\infty }}\left({\frac {t}{t- 1}}\right)^{t}=\lim _{{t\to +\infty }}\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{t}=

=\lim _{{t\to +\infty }}\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{{t-1}}\cdot \lim _{{t \to +\infty }}\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{1}=e\cdot 1=e

Nyilvánvaló, hogy ez a két eset azt jelenti, hogy valós x esetén. $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ $\fekete háromszögjobb$

Következmények

$\lim _{{u\to 0}}(1+u)^{{\frac {1}{u}}}=e$
$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {a^{x}-1}{x\ln a}}=1$ számára , $a>0$ $a\neq 1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{\alpha x}}=1$

A következmények bizonyítása

$\lim _{{u\to 0}}(1+u)^{{\frac {1}{u}}}=\left[{\begin{matrix}u=1/x\\x\to \ infty \end{mátrix}}\right]=\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$
$\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=\left[{\begin{mátrix}u=x/k\ \x=ku\\u\to \infty \\x\to \infty \end{mátrix}}\right]=\lim _{{u\to \infty }}\left(1+{\frac {1 }{u}}\right)^{{ku}}=\left(\lim _{{u\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{u}}\right)^{ u}\jobbra)^{k}=e^{k}$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {1}{x}}\ ln(1+x)=\lim _{{x\to 0}}\ln((1+x)^{{\frac {1}{x}}})=\ln e=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=e^{x}-1\\x= \ln(1+u)\\x\to 0\\u\to 0\end{mátrix}}\right]=\lim _{{u\to 0}}{\frac {u}{\ln( 1+u)}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {a^{x}-1}{x\ln a}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{{ \ln(a^{x})}}-1}{x\ln a}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{{x\ln a}}-1} {x\ln a}}=\left[{\begin{mátrix}u=x\ln a\\u\to 0\\x\to 0\end{mátrix}}\right]=\lim _{{ u\to 0}}{\frac {e^{u}-1}{u}}=1$
$\lim _{{x\to 0}}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{\alpha x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac { e^{{\alpha \ln(1+x)}}-1}{\alpha x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{{\alpha \ln(1 +x)))-1}{\alpha \ln(1+x)}}\cdot \lim _{{x\to 0}}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=$

=\lim _{{x\to 0}}{\frac {e^{{\alpha \ln(1+x)))-1}{\alpha \ln(1+x)))\cdot 1= \left[{\begin{mátrix}u=\alpha \ln(1+x)\\x\to 0\\u\to 0\end{mátrix}}\right]=\lim _{{u\to 0}}{\frac {e^{u}-1}{u}}=1

Alkalmazás

Figyelemreméltó határértékeket és azok következményeit használjuk fel a bizonytalanságok feltárásakor, hogy más határokat találjunk.

Lásd még

Korlátok listája

Irodalom

Iljin V. A. , Poznyak E. G. A matematikai elemzés alapjai (két részben) . - M . : Fizmatlit, 2005. - S. 24 -25. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Linkek

Remarkable Limits on Wikia természettudományos matematika archiválva 2018. szeptember 22-én a Wayback Machine -nél