Az előírt skaláris görbület problémája

Az előírt skaláris görbületi probléma egy Riemann-metrika megalkotása adott skaláris görbülettel . Ezt a problémát alapvetően Kazhdan és Warner dolgozza fel. [egy]

Megfogalmazás

Adott egy zárt , sima sokaság és egy sima valós függvény, alkossunk egy Riemann-metrikát , amelyre a skaláris görbület . $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $M$ $f$

Döntések

Ha a sokaság mérete három vagy több, akkor minden negatív értéket felvevő sima függvény valamely Riemann-metrika skaláris görbülete. $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$

Az a feltételezés, hogy bizonyos pontokon negatívnak kell lennie, azért szükséges, mert nem minden sokaság enged be szigorúan pozitív skaláris görbületű metrikát. Például ez egy háromdimenziós tórusz . A következő azonban igaz. $f$

Ha elfogad egy metrikát szigorúan pozitív skaláris görbülettel, akkor bármely sima függvény valamelyik Riemann-metrika skaláris görbülete a -n . $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $M$

Lásd még

Yamabe probléma

Jegyzetek

↑ Kazdan, J. és Warner F. A Riemann-struktúra skaláris görbülete és konformális deformációja. Differenciálgeometriai folyóirat. 10 (1975). 113-134.