Összetett funkciódifferenciálás

A láncszabály ( egy összetett függvény differenciálási szabálya ) lehetővé teszi két vagy több függvény összetételének deriváltjának kiszámítását az egyes deriváltok alapján. Ha egy függvénynek van deriváltja -ben , és egy függvénynek van deriváltja -ban, akkor a komplex függvénynek is van deriváltja -ban . $f$ $x_{0}$ $g$ $y_{0}=f(x_{0})$ $h(x)=g(f(x))$ $x_{0}$

Egydimenziós tok

Legyenek adottak a valós egyenesen szomszédságban definiált függvények, ahol és Legyenek ezek a függvények is differenciálhatóak: Ekkor az összetételük is differenciálható: származéka pedig a következő: $f:U(x_{0})\to V(y_{0}),$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$

h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).

Megjegyzés

A Leibniz-jelölésben a függvény deriváltjának kiszámításához használt láncszabály a következő formában jelenik meg: $y=y(x),$ $x=x(t),$

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.

Az első differenciál alakjának változatlansága

Egy függvény differenciáljának egy pontban a következő alakja van: $z=g(y)$ $y_0$

dz=g'(y_{0})\,dy,

hol van az azonos leképezés differenciálja : $dy$ $y\to y_{0}$

dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .

Most akkor , és a láncszabály szerint: $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D))(x_{0}).$ $dy=f'(x_{0})\,dx$

dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.

Így az első differenciál alakja ugyanaz marad, függetlenül attól, hogy a változó függvény-e vagy sem.

Példa

Legyen Ekkor a függvény felírható összetételként ahol $h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;$ $h\;$ $h=g\circ f,$

f(x)=3x^{2}-5x,\;

g(y)=y^{7}.\;

Ezeket a funkciókat külön kell megkülönböztetni:

f'(x)=6x-5,\;

g'(y)=7y^{6},\;

kapunk

h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).

Többdimenziós eset

Legyenek adottak a hol és függvények Legyenek ezek a függvények is differenciálhatóak: és Akkor az összetételük is differenciálható, a differenciálé pedig az alakja $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$

dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})

Konkrétan egy függvény Jacobi-mátrixa az és függvények Jacobi-mátrixának szorzata $h$ $g$ $f:$

{\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m)))))={\frac {\ részleges (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\cdot {\frac {\partial (y_{1}, \ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m))))).

Következmények

A két függvény összetételének jakobiánusa az egyes függvények jakobiánusainak szorzata: $\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\right \ vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\right \vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\ right\vert .$

Egy komplex függvény parciális deriváltjainál

${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j))}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_ {0})}{\partial y_{i))}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j))},\quad j=1,\ldots m.$

Példa

Legyen adott három változóból álló függvény, és meg kell találni a változóhoz viszonyított parciális deriváltját . A függvény felírható hol $h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3))}\;$ $x$ $h\;$ $h(x,y,z)=f(u,v,w),$