Megkülönböztető

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 23 szerkesztést igényelnek .

A polinom diszkriminánsa egy matematikai fogalom ( algebrában ), amelyet D vagy Δ betűkkel jelölünk [1] .

Egy , polinom esetében a diszkriminánsa a szorzat $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ $a_{n}\neq 0$

D(p)=a_{n}^{{2n-2}}\prod _{{i<j}}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}

, hol van a polinom összes gyöke (a multiplicitásokat figyelembe véve) annak a főmezőnek valamely kiterjesztésében , amelyben léteznek.

\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}

Leggyakrabban a négyzetes trinomiális diszkriminánsát használják , amelynek előjele határozza meg a valós gyökök számát.

Tulajdonságok

A diszkrimináns akkor és csak akkor nulla, ha a polinomnak több gyöke van.
A diszkrimináns szimmetrikus polinom a polinom gyökéhez képest, ezért együtthatóiban polinom; ráadásul ennek a polinomnak az együtthatói egész számok , függetlenül attól, hogy a gyökeket milyen kiterjesztéssel veszik fel.
$D(p)={\frac {(-1)^{{n(n-1)/2}}}{a_{n}}}R(p,p')$ , ahol a polinom eredője és deriváltja . $R(p,p')$ $p(x)$ $p'(x)$

Példák

A következő példák mindegyike valós együtthatós és nem nulla vezető együtthatós polinomokkal foglalkozik.

Másodfokú polinom

A négyzetes trinom diszkriminánsa az $ax^{2}+bx+c$ $D=b^{2}-4ac.$

Amikor a trinomiálisnak két valódi gyökere lesz: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {D}}} }.$
Amikor - a 2. multiplicitás egy gyöke (más szóval két azonos gyök): $D=0$ $x=-{\frac {b}{2a}}.$
Ha azonban nincsenek valódi gyökök, akkor két összetett konjugált gyök van, amelyeket ugyanaz a képlet fejez ki, mint a pozitív diszkrimináns esetében. A következőképpen átírható úgy, hogy ne tartalmazzon negatív gyök kifejezést: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$ $x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {D))))={\frac {2c}{-b\pm i{\sqrt {|D| }}}}.$

Harmadfokú polinom

A köbös polinom diszkriminánsa az $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd=27\left(6a{\frac {b}{3}}{\frac {c}{3}}d-4\left(a\left({\frac {c}{3}}\right)^{3}+\left({\ frac {b}{3}}\right)^{3}d\right)+3\left({\frac {b}{3}}\right)^{2}\left({\frac {c} {3}}\jobbra)^{2}-a^{2}d^{2}\jobbra).

Konkrétan egy köbös polinom diszkriminánsa (amelynek gyökeit Cardano képletével számítjuk ki ) a . $x^{3}+px+q$ $-4p^{3}-27q^{2}=-108\left(\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q }{2}}\jobbra)^{2}\jobbra).$

Egy köbös polinomnak három különböző valós gyöke van. $D>0$
Mert , ennek többszörös gyöke van (vagy a 2. multiplicitás egy gyökere és az 1. multiplicitás egy gyöke, mindkettő valós; vagy a 3. multiplicitás egyetlen valós gyöke). $D=0$
Ugyanis egy köbös polinomnak van egy valós gyöke és két komplex gyöke (amelyek összetett konjugátumok). $D<0$

Negyedfokú polinom

A negyedfokú polinom diszkriminánsa egyenlő $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

{\begin{aligned}D&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a ^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e- 80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{ 3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{igazított}}

Polinom esetén a diszkrimináns alakja $x^{4}+qx^{2}+rx+s$

{\begin{aligned}D&=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^ {3}r^{2}=\\&=256\left(s^{3}-18\left({\frac {q}{6}}\right)^{2}s^{2}- 27\left({\frac {r}{4}}\right)^{4}-54\left({\frac {q}{6}}\right)^{3}r^{2}+54 \left({\frac {q}{6}}\right)\left({\frac {r}{4}}\right)^{2}s+81\left({\frac {q}{6 }}\jobbra)^{4}s\jobbra).\end{igazított}}

az egyenlőség pedig egy fecskefarkúnak nevezett felületet határoz meg a térben . $D=0$ $(q,r,s)$

A polinomnak két különböző valós gyöke és két összetett gyöke van. $D<0$
Ha a polinomnak négy különböző gyöke van: vagy minden valós, vagy teljesen összetett. $D>0$

Mégpedig a [2] polinom esetében :

x^{4}+qx^{2}+rx+s

ha , akkor minden gyök összetett; $q\geqslant 0$
ha és , akkor minden gyök összetett; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
ha és , akkor minden gyökér valódi. $q<0$ $s<{\frac {q^{2}}{4}}$

A esetén a polinomnak legalább egy többszörös gyöke van (valós vagy összetett). A második esetben a polinomnak két összetett konjugált többszörös gyöke van, és ezért két másodfokú polinom szorzatára bomlik, amelyek irreducibilisek a valós számok terén. $D=0$

Pontosabban [2] :

ha és , akkor a 2. multiplicitás egy valós gyöke és két komplex gyök; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
ha és , akkor három különböző valós gyök, amelyek közül az egyik multiplicitása 2; $q<0$ $-{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}$
ha és , akkor két valós gyök, amelyek mindegyikének többszöröse 2; $q<0$ $s={\frac {q^{2}}{4}}$
ha és , akkor két valós gyök, amelyek közül az egyik multiplicitása 3; $q<0$ $s=-{\frac {q^{2}}{12}}$
ha , és , akkor a 2. multiplicitás egy valós gyöke és két komplex gyök; $q>0$ $s>0$ $r\neq 0$
ha , és , akkor egy pár összetett konjugált gyök 2-es multiplicitással; $q>0$ $s={\frac {q^{2}}{4}}$ $r=0$
ha és , akkor a 2. multiplicitás egy valós gyöke és két komplex gyök; $q>0$ $s=0$
ha és , akkor a 2. multiplicitás egy valós gyöke és két komplex gyök; $q=0$ $s>0$
ha és , akkor a 4 multiplicitás egy valós gyöke. $q=0$ $s=0$

Történelem

A kifejezés a lat szóból származik. discrimino - „szétszerelni”, „megkülönböztetni”. A "négyzet alakú diszkrimináns" fogalmát Gauss , Dedekind , Kronecker , Weber és mások munkái használták, a kifejezést Sylvester vezette be [3] .

Lásd még

Eredő

Irodalom

Prasolov VV polinomok. — M. : MTsNMO , 1999, 2001, 2003.

Jegyzetek

↑ Polinom diszkriminánsa // Matematikai kézikönyv.
↑ 1 2 Rees, EL Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation // The American Mathematical Monthly : folyóirat. - 1922. - 1. évf. 29 , sz. 2 . - P. 51-55 . - doi : 10.2307/2972804 .
↑ Mátrixok és determinánsok - Numericana . Letöltve: 2010. május 9. Az eredetiből archiválva : 2010. június 1.. (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Britannica (online)