Diszkrét Abel transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 30-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A diszkrét Abel transzformáció a következő azonosság:

\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},

ahol , sorozatok , while és . Ezt a transzformációt Niels Henrik Abel norvég matematikusról nevezték el . A matematikai elemzésben a Dirichlet-konvergencia teszt bizonyítására használják . $n\geqslant m\geqslant 1$ ${\megjelenítési stílus (a_{k}),(b_{k}),(B_{k})}$ $(k\in \mathbb {N} )$ ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k))$ $B_{0}=0$

Az Abel-transzformáció a részenkénti integráció diszkrét megfelelője, és néha részenkénti összegzésnek is nevezik .

Bizonyítás

Nekünk van

{\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{ k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{ k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1} a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\összeg _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _ {k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m} B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{igazított}}

Q.E.D.