Diskrét Green-tétel

Green tételének egy diszkrét változata leírja az összefüggést egy függvény kettős integrálja egy általánosított téglalap alakú tartományra (olyan tartományra, amely a síkban lévő téglalapok véges összegzéséből képződik) és egy antiderivatív függvény lineáris kombinációja között, amely a függvény sarkaiban van megadva. a régió. Ebben az értelemben a diszkrét Green-tétel népszerű változatát tekintjük . [1] [2]

A tétel George Green brit matematikusról kapta a nevét , az ő tételével, Green tételével való hasonlóság miatt: mindkét tétel a görbe feletti integráció és a görbével határolt régió feletti integráció közötti kapcsolatot írja le. A tételt először Wang Integral Image Representation algoritmusának folyamatos kiterjesztéseként mutatták be 2007-ben az ICCV Computer Vision Nemzetközi Konferencián [1] , majd Doretto professzor és munkatársai [3] 2011-ben egy lektorált folyóiratban újra közzétették.

Megfogalmazás

Tegyük fel, hogy ƒ egy integrálható függvény az R 2 síkon , így:

F\left(x,y\right)\equiv \int _{0}^{y}\int _{0}^{x}f\left(u,v\right)\,du\, dv

a primitív funkciója . Legyen egy általánosított téglalap alakú terület. Ezután a tételt a következőképpen ábrázoljuk: $D\subset R^{2}$

\iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=\sum _({\vec {x))\in \nabla \cdot D}\alpha _{D }\left({\vec {x}}\right)\cdot F\left({\vec {x}}\right),

ahol az adott tartomány sarkainak halmaza D , egy diszkrét paraméter lehetséges {0, ±1, ±2} értékekkel, amelyeket a sarok típusától függően határozunk meg, amint az a jobb oldali ábrán látható. Ez a paraméter a görbe hajlításának [4] speciális esete, amelyet a görbe egyoldali megszakításával [5] sorban határozunk meg az adott terület sarkainál. $\nabla \cdot D$ $\alpha _{D}$

Ez a tétel az általánosított területtábla algoritmus természetes kiterjesztése. Ez a tétel annyiban bővíti az algoritmust, hogy a régió lehet folytonos, és (véges) számú téglalapból alakítható ki, míg az általánosított régiótábla algoritmus azt feltételezi, hogy a régió egyetlen téglalap.

A diszkrét Green tétel a Newton-Leibniz tételt is általánosítja .

A bizonyíték ötlete

A tétel bizonyításához használhatja a "Képek integrált ábrázolása" algoritmus képletét, amely tartalmazza az ezt a területet alkotó téglalapokat:

Ez a kép azt mutatja, hogy az eredeti függvény + \ - együtthatói hogyan kioltják egymást téglalapokban, kivéve a terület sarkaiban található pontokat.

Példa

Tegyük fel, hogy az ƒ függvény adott az R 2 síkon , akkor F az antiderivatív függvénye. Legyen D a zöld színű terület a következő ábrán:

Az erre a területre vonatkozó tétel szerint a következő kifejezést kapjuk:

\iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=F\left(J\right)-2F\left(K\right)+F\left(L\ jobb)-F\bal(M\jobb)+F\bal(N\jobb)-F\bal(O\jobb)+F\bal(P\jobb)+F\bal(Q\jobb)-F\ balra(R\jobbra).

Alkalmazások

A Discrete Green tételét számítógépes alkalmazásokban használják a képeken lévő objektumok észlelésére és gyors kiszámítására, valamint a valószínűségek hatékony kiszámítása érdekében.

Általánosítások

2011-ben két általánosítást javasoltak a tételhez:

Pham professzor és munkatársai által javasolt megközelítés: a poligonális tartománytétel általánosítása dinamikus programozás segítségével [6] .
Shahar matematikus által javasolt megközelítés: a tétel szélesebb körre történő általánosítása a diszkontinuitás operátor [5] és a ferde egyenes integrációs módszer [7] segítségével, amelyek segítségével a diszkrét Green-tétel [8] megfogalmazásra került. .

Videó előadások

Bevezetés a féldiszkrét számításba a diszkrét Green-tétel elmélete mögött .

Lásd még

Green tétele

Jegyzetek

↑ 12 Wang, Xiaogang ; Doretto, Gianfranco; Sebastian, Thomas; Rittscher, Jens; Te, Péter. „Alak és megjelenés kontextusmodellezés” (PDF) . in Proceedings of IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV) 2007 . Elavult használt paraméter |coauthors=( súgó ) Archiválva : 2011. július 16. a Wayback Machine -nél
↑ Finkelstein, Amir (2010). „Egy diszkrét Green-tétel” . Wolfram demonstrációs projekt . Archiválva : 2012. november 12. a Wayback Machine -nél
↑ Doretto, Gianfranco; Sebastian, Thomas; Rittscher, Jens; Te, Péter. „Külső alapú személyazonosítás kamerahálózatokban: A probléma áttekintése és jelenlegi megközelítései” (PDF) . Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing, pp. 1–25., Springer Berlin/Heidelberg, 2011 . Elavult használt paraméter |coauthors=( súgó ) Archivált : 2012. március 26. a Wayback Machine -nél
↑ Finkelstein, Amir (2010). „Egy görbe tendenciája” . Wolfram demonstrációs projekt . Archiválva : 2016. szeptember 24. a Wayback Machine -nál
↑ 1 2 Finkelstein, Amir (2010). „Egyváltozós függvény leválása és tendenciája” . Wolfram demonstrációs projekt .
↑ Pham, Minh-Tri; Yanggao; Viet-Dung D. Hoang; Tat Jen Cham. „Gyors poligonális integráció és alkalmazása a Haar-szerű funkciók kiterjesztésében az objektumészlelés javítására” (PDF) . Proc. az IEEE Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) konferenciáján, San Francisco, CA, 2010 . Elavult használt paraméter |coauthors=( súgó ) Archiválva : 2011. szeptember 2. a Wayback Machine -nél
↑ Finkelstein, Amir (2010). „Kibővített diszkrét Green-tétel” . Wolfram demonstrációs projekt . Archiválva : 2015. november 20. a Wayback Machine -nál
↑ Sachar, Amir. „Az integrál képalgoritmus és a kalkulus kapcsolatáról” (PDF) . arXiv:1005.1418v11[cs.DM], 2011 . (nem elérhető link)