Diofantin egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A diofantinuszi egyenlet ( egyenlet egész számokban is ) a következő alakú egyenlet :

P(x_{1},\pontok,x_{m})=0,

ahol egy egész szám függvény , például egy egész együtthatós polinom , és a változók egész értékeket vesznek fel. A "Diofantine" egyenlet az ókori görög matematikusról, Diophantusról kapta a nevét . $P$ $x_{i}$

Ezenkívül a megoldhatóság kérdésének mérlegelésekor a változókat gyakran paraméterekre (amelyek értékeit rögzítettnek feltételezzük) és ismeretlenekre osztják. Tehát az egyenlet

P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,

paraméterekkel és ismeretlenekkel megoldhatónak tekinthető a paraméterkészlet adott értékeire, ha létezik olyan számkészlet , amelyre ez az egyenlőség igaz. $a_{1},\pontok ,a_{n}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m))$ $(a_{1},\dots ,a_{n})$ ${\megjelenítési stílus (x_{1},\pontok,x_{m})}$

Így a diofantin egyenleteket egész együtthatós egyenleteknek nevezzük, amelyekre egész (vagy természetes) megoldást kell találni. Ebben az esetben az egyenletben szereplő ismeretlenek számának legalább kettőnek kell lennie [1] . Az egyenletek a kiváló ókori matematikus , Alexandriai Diophantus tiszteletére kapták a nevüket , akiről úgy tartják, hogy ő volt az első, aki szisztematikusan tanulmányozta a határozatlan egyenleteket, és leírta a megoldási módszereket [2] . Az összes fennmaradt feljegyzést az „Aritmetika” [3] című könyv gyűjti össze . Diophantus után a határozatlan egyenletek hasonló tanulmányozását hindu matematikusok végezték az ötödik század körül [4] . Európában gyakorlatilag minden jelentős algebraista korának határozatlan egyenletek megoldásával foglalkozott: Leonardo Fibonacci (kb. 1170-1250), Francois Viet (1540-1603), Simon Stevin (kb. 1549-1620) [5] .

Az egyenletek egész számokban történő megoldásának problémáját a végére tekintjük az egy ismeretlenes egyenleteknél, valamint a két ismeretlenes első és másodfokú egyenleteknél.

Példák

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ :
- Ennek az egyenletnek a megoldásai Pitagorasz-hármasok . $n=2$
- Fermat utolsó tétele szerint ennek az egyenletnek nincs nullától eltérő egész megoldása a -ra . $n>2$
$\sum \limits _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}$ - Euler hipotézise azt állítja, hogy ez az egyenlet bármely n > 2 természetes számra feloldhatatlan természetes számokban , vagyis egy természetes szám egyetlen n- edik hatványa sem ábrázolható más természetes számok n -1 n -edik hatványának összegeként. A hipotézis Fermat utolsó tételének általánosítása, de n = 4 és n = 5 esetén megcáfolták, ami után a Lander-Parkin-Selfridge sejtést terjesztették elő . $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$
$x^{2}-ny^{2}=1$ , ahol az n paraméter nem pontos négyzet - Pell-egyenlet .
$x^{z}-y^{t}=1$ , ahol , a katalán egyenlet , amelynek egyedi megoldása van . $z,t>1$ $3^{2}-2^{3}=1$
$\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}x^{i}y^{{ni}}=c$ mert és a Thue egyenlet . $n\geq 3$ $c\neq 0$

Lineáris diofantin egyenletek

A lineáris diofantin egyenlet általános képe :

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.

Konkrétan egy lineáris diofantin egyenlet két ismeretlennel a következőképpen alakul:

ax+by=c.\qquad (1)

Ha (azaz a legnagyobb közös osztó nem osztja ), akkor az (1) egyenlet egész számokban nem oldható meg. Valóban, ha , akkor az (1) bal oldali szám osztható -vel , de a jobb oldali szám nem. Ennek fordítva is igaz: ha az egyenlet teljesül , akkor egész számokban is megoldható. $(a,b)\nközép c$ $(a,\;b)$ $c$ $(a,\;b)\neq 1$ $(a,\;b)$ $ax+by=c$ $(a,b)\közép c$

Legyen egy adott megoldása az egyenletnek . Ezután az összes megoldást a képletekkel találjuk meg: $(x_{0},\;y_{0})$ $ax+by=c$

{\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{ (a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .

Egy adott megoldás a következőképpen szerkeszthető meg. Ha és osztható -vel , akkor az összes együttható elosztása után az egyenlet a következőt kapja : ahol . Az utolsó egyenlethez egy adott megoldást kapunk a Bezout- relációból : $(x_{0},\;y_{0})$ $(a,b)\neq 1$ $c$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ $(a_{1},b_{1})=1$ $a_{1},b_{1}$

ua_{1}+vb_{1}=1,

ahonnan lehet tenni $(x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).$

Van egy explicit képlet egy lineáris egyenlet [6] megoldásainak sorozatára :

{\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b) }}{b}}-at,\end{cases}}

ahol az Euler-függvény és t egy tetszőleges egész paraméter. $\varphi (\cdot )$

Algebrai diofantikus egyenletek

Az algebrai diofantinuszi egyenletek megoldhatóságának kérdésében felhasználható az a tény, hogy bármely ilyen egyenletrendszer átalakítható egy legfeljebb 4-es fokú diofantin egyenletté nemnegatív egész számokban, amely akkor és csak akkor oldható meg, ha az eredeti rendszer megoldható (ebben az esetben ennek az új egyenletnek a változókészlete és a halmazmegoldásai teljesen eltérőek lehetnek).

Diophantine készletek

A diofantin halmaz egy n egész szám rendezett halmazából álló halmaz, amelyre létezik egy algebrai diofantin egyenlet:

P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,

ami akkor és csak akkor oldható meg, ha a számhalmaz ebbe a halmazba tartozik. A szóban forgó diofantin egyenletet ennek a halmaznak a diofantin reprezentációjának nevezzük . Yu. V. Matiyasevics fontos eredménye , hogy minden felsorolható halmaznak van diofantin ábrázolása [7] . $(a_{1},\dots ,a_{n})$

Általános eldönthetetlenség

Hilbert tizedik , 1900 -ban megfogalmazott problémája az, hogy találjon egy algoritmust tetszőleges algebrai diofantin-egyenletek megoldására. 1970- ben Yu. V. Matiyasevics bebizonyította a probléma algoritmikus megoldhatatlanságát . [nyolc]

Exponenciális diofantusz egyenletek

Ha egy diofantin egyenletben egy vagy több változó szerepel a hatványra emelés kitevőjének kifejezésében, akkor az ilyen diofantin egyenletet exponenciálisnak nevezzük .

Példák:

Nincs általános elmélet az ilyen egyenletek megoldására; speciális eseteket, például a katalán hipotézist vizsgálták. A legtöbb ilyen egyenlet azonban még mindig megoldható speciális módszerekkel, például a Sturmer-tétellel vagy akár a próba és hiba segítségével .

Lásd még

Jegyzetek

↑ . Abakumova SI, Guseva AN Diophantine egyenletek Fundamentális és alkalmazott kutatások a modern világban. - 2014. - V. 1., 6. sz. - S. 133-137.
↑ Bashmakova I. G. Diophantine és Diophantine egyenletek - Moszkva: Nauka, 1972. - 68 p.
↑ Zhmurova, I. Yu. Diofantini egyenletek: az ókortól napjainkig. Fiatal tudós. - 2014. - 9. sz. -S. 1-5
↑ Kozhaev, Yu. P. görög matematikus Diophantus és Diophantine egyenletek. A IV. Összoroszországi Tudományos és Gyakorlati Konferencia „Kultúra és társadalom: Történelem és modernitás” anyagai - Sztavropol: AGRUS. - 2015. - S. 150-154.
↑ Melnikov R. A. A diofantini egyenletek fejlődési szakaszainak rövid áttekintése. A „Matematika: alap- és alkalmazott kutatás és oktatás” nemzetközi tudományos-gyakorlati konferencia anyaga - Rjazan: az Orosz Állami Egyetem kiadója. S. A. Yesenina, 2016. - S. 429-435.
↑ Vorobjov N. N. Az oszthatóság jelei . - M. : Nauka, 1988. - S. 60. - 96 p. - ( Népszerű matematikai előadások ).
↑ Diophantine set - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . Yu. V. Matiyasevics
↑ Matiyasevics Yu. V. Hilbert tizedik problémája . - M .: Nauka, 1993.

Linkek

Bashmakova, Isabella G. Diophantine and Diophantine Equations. M.: Nauka, 1972. Német fordítás: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel/Stuttgart, 1974. Angol fordítás: Diophantus and Diophantine Equations . Fordította Abe Shenitzer Hardy Grant szerkesztői közreműködésével, és frissítette Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Isabella G., Slavutin E.I. A diofantin elemzés története Diophantustól Fermatig . Moszkva: Nauka, 1984.
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
Bashmakova, Izabella G. „Algebrai görbék aritmetikája Diophantustól Poincaréig”, Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
Gelfond AO Egyenletek megoldása egész számokban . - M . : Nauka, 1978. - ( Népszerű matematikai előadások ).
Mikhailov, I. A diophantine Analysisről , Kvant . - 1980. - 6. sz . - S. 16-17.35 .
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture Historique et mathématique , Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classicique: D'Abū Kāmil à Fermat , Berlin, New York: Walter de Gruyter.
Serpinsky VN Az egyenletek megoldásáról egész számokban . - M. : Fizmatlit, 1961. - 88 p.
Stepanov S. A. Diofantin egyenletek // Tr. MIAN Szovjetunió. - 1984. - T. 168 . – 31–45 .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .