Erdős gróf - Diophantus

Az Erdős-Diophantus gráf egy síkon egész koordinátákkal rendelkező pontok halmaza, amelyek közötti távolságok egész számok, és amelyek nem bővíthetők más pontok hozzáadásával. Ezzel egyenértékűen ez a halmaz egy teljes gráfként írható le, amelynek csúcsai egy egész rácson vannak , úgy, hogy a csúcsok közötti páronkénti távolságok egész számok, míg a rács összes többi pontja legalább egy csúcstól nem egész távolságra van.

Erdős-Diophantus grófjai Erdős Pál és Alexandriai Diophantus nevéhez fűződnek . A grafikonok egy részhalmazát alkotják a diofantin alakzatok halmazának , amelyek teljes gráfokként vannak definiálva a diofantin síkon , amelyekben minden él egész hosszúságú. Ekkor az Erdős-Diofantinus gráfok pontosan diofantinus alakok, amelyeket nem lehet kiterjeszteni. Az Erdős-Diofantinus gráfok létezése az Erdős-Anning-tételből következik , amely szerint a végtelen diofantinuszi alakzatoknak kollineárisnak kell lenniük a diofantin síkon. Ezért a nem-kollineáris diofantusz-figura csúcsok hozzáadásával történő kiterjesztésének minden folyamatának el kell jutnia egy olyan szakaszba, ahol az alakzat nem bővíthető.

Példák

Bármely nulla pont vagy egy pont halmaza triviálisan kiterjeszthető, és bármely két pontból álló diofantin halmaz kiterjeszthető ugyanazon az egyenesen lévő pontokkal. Így minden háromnál kisebb diofantin halmaz kibővíthető, ezért nem léteznek háromnál kisebb csúcsú Erdős-Diofantin-gráfok.

Numerikus kereséssel Koner és Kurtz [1] kimutatta, hogy léteznek három csúcsú Erdős-Diophantus gráfok. A legkisebb Erdős-Diophantus háromszög oldalhossza 2066, 1803 és 505. A következő legnagyobb Erdős-Diophantus háromszög oldalai 2549, 2307 és 1492. Mindkét esetben a három oldal összege páros szám. Brancheva bebizonyította, hogy ez a tulajdonság minden Erdős-Diophantus háromszögre érvényes, az Erdős-Diophantus gráfban bármely zárt út teljes hossza mindig páros.

A négy csúcsú Erdős-Diofantine gráfra példa a 4-es és 3-as oldalú téglalap csúcsaiból alkotott teljes gráf.

Jegyzetek

1. ↑ Kohnert, Kurz, 2007 .

Irodalom

• Axel Kohnert, Sascha Kurz. Megjegyzés az Erdős-Diophantine graphs and Diophantine szőnyegekhez // Mathematica Balkanica. - 2007. - T. 21 , sz. 1–2 . - arXiv : math/0511705 .
• Stancho Dimiev, Krassimir Markov. Gauss-egészek és diofantinuszi alakok // Matematika és matematikai oktatás. - 2002. - T. 31 . – S. 88–95 . - . - arXiv : math/0203061 .