Riba gróf

A gráfelméletben egy függvény Reeb -gráfja írja le a függvény szintfelületeinek összekapcsolhatóságát . Georges Ribe mutatta be [1]

Definíció

Tekintsünk egy folytonos függvényt egy kompakt elosztón , . Egy pont inverz képe a függvény sík felülete . Két pontot ekvivalensnek nevezünk, ha a szintfelület azonos összefüggő összetevőjéhez tartoznak . $f:M\to R$ $y\in R$ $f^{-1}(y)\subset M$ $x,x'\in M$ $x\!\sim x'$ $f^{{-1}}(y)$

Egy függvény Reeb-gráfja a sokaság hányadostere egy ilyen ekvivalenciarelációhoz képest . A gráf csúcsai a függvény kritikus szintjeinek összefüggő összetevői. A grafikon orientációját a függvény gradiensének iránya határozza meg . $f$ $M$ $G=M/\!\sim$ $G$ $f$

Tulajdonságok

A Reeb-gráf következő tulajdonságait bizonyította alapművében [1] :

Adjunk meg egy f Morse-függvényt egy kompakt dimenziós simasági osztályú sokaságon , amelynek minden kritikus pontja a függvény különböző kritikus értékeinek felel meg . Az ilyen függvények halmaza nyitott és sűrű az összes függvény terében. Jelölje ennek a függvénynek a Reeb-gráfját. Akkor: $n$ $C^{2}$ $\Gamma$

A gráf 1. fokú csúcsai pontosan megfelelnek a 0 és n index f függvényének kritikus pontjainak . $\Gamma$
Ha az f függvény kritikus szintjének megfelelő gráfcsúcs , amely az 1 és n-1 index kritikus pontját tartalmazza, 2 -es vagy 3 -as fokozatú lehet . $n\geq 3$
Ha , az 1. index kritikus pontjainak megfelelő gráfcsúcsok fokozata 2 , 3 vagy 4 lehet . $n\,=2$
A 0 , 1 , n-1 és n -től eltérő indexpontot tartalmazó f függvény kritikus szintjének megfelelő gráfcsúcs foka mindig 2 .

A gráf ezen tulajdonságai a Morse-függvények egy furcsa tulajdonságát vonják maguk után, amely ugyanott bizonyított [1] :

Jelölje a kritikus pontok halmazával a k és nk index függvényeit . Ha , akkor . ${\displaystyle \Omega _{k))$ $n\geq 3$ $|\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2$

Alkalmazás

A Reeb-gráfokat a matematikában használják a tanulás során

Morse-függvények topológiai osztályozása [2]
Hamiltoni rendszerek [3]

A Reeb-gráfok, és különösen az aciklikus Reeb-gráfok, az úgynevezett kontúrfák , széles körben használatosak a számítógépes alkalmazásokban:

számítógépes tervezésben és geometriai modellezésben,
az adatszerkezet geometriai modelljeiben és az adatbázis- keresési módszerekben
tervezési munkák automatizálási rendszereiben .

Jegyzetek

↑ 1 2 3 G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. – CRAS Paris 222, 1946, pp. 847-849. [1] Archiválva : 2016. március 9. a Wayback Machine -nél
↑ Sharko V.V. Funkciók sima és topológiai ekvivalenciája felületeken. // Ukrán Mathematical Journal. 2003. V. 55. No. 5. S. 687-700.
↑ A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, Bevezetés az integrálható Hamilton-rendszerek topológiájába, Nauka, M., 1997.