Sima elosztó

A sima elosztó egy sima szerkezettel felruházott elosztó . A sima elosztók természetes alapjai a differenciálgeometria kialakításának . A differenciális sokaságokon további infinitezimális struktúrákat vezetnek be - érintőtér , orientáció, metrika, kapcsolat stb., és tanulmányozzák az ezekhez az objektumokhoz kapcsolódó tulajdonságokat, amelyek invariánsak a diffeomorfizmusok csoportjában, amelyek megőrzik a további struktúrát.

Definíció

Legyen egy Hausdorff topológiai tér . Ha minden pontnak megvan a szomszédja , amely homeomorf a tér egy nyitott részhalmazával , akkor lokálisan euklideszi térnek , vagy topológiai dimenziósokaságnak nevezzük . $x$ $x\X-ben$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x$ $n$

A pár , ahol a jelzett homeomorfizmus, helyi diagramnak nevezzük a pontban . Így minden pont valós számok halmazának felel meg , amelyeket a térképen koordinátáknak nevezünk . A térképek halmazát sokrétű atlasznak nevezzük , ha: $(U,\phi )$ $\phi$ $x$ $x$ $n$ $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $(U,\phi )$ $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ $C^k$ $(0\leqslant k\leqslant \infty )$ $x$

az összes borító összessége , i.e. $U_{\alpha }$ $x$ $X=\pohár _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }$
minden olyan esetében, amelyhez , leképezés: $\alpha ,\beta \in A$ $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$

\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_ {\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })

az osztály sima feltérképezése ;

C^k

{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta ))

egy nem nulla Jacobi -féle leképezés, és a térkép térképhez ragasztásának leképezése

(U_{\alpha },\phi _{\alpha })

(U_{\beta },\phi _{\beta }).

Két -atlaszt egyenértékűnek mondunk, ha egyesülésük ismét -atlaszt alkot. Az -atlaszok halmaza ekvivalencia osztályokra van felosztva, amelyeket - struktúráknak neveznek , a - differenciális (vagy sima) struktúráknak. $C^k$ $C^k$ $C^k$ $C^k$ $1\leqslant k\leqslant \infty$

A -struktúrával felruházott topológiai sokaságot sima sokaságnak nevezzük . $x$ $C^k$ $C^k$

Jegyzetek

Ha emellett a ragasztási térképek analitikusak , akkor ez a definíció analitikus struktúrát ad, amelyet néha -structure-val jelölnek. ${\displaystyle C^{a))$

Összetett elosztók

Az analitikus és algebrai geometria problémái ahhoz vezetnek, hogy a differenciálszerkezet meghatározásakor figyelembe kell venni egy általánosabb terekből álló teret, vagy akár , ahol van egy teljes, nem diszkrét normamező. Tehát abban az esetben holomorf ( analitikus komplex) struktúrákat ( ) és a megfelelő sima sokaságokat – komplex sokaságokat tekintünk . Ezen túlmenően minden ilyen elosztónak természetes, valós analitikai szerkezete is van. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $K^n$ $K$ $K=\mathbb {C}$ $C^k$ $k\geqslant 1$

Kompatibilis szerkezetek

Bármely analitikai sokaságon létezik vele konzisztens -struktúra, a -sokaságon pedig , -struktúra, ha . Ezzel szemben bármely parakompakt -sokaság, , felruházható az adottval kompatibilis analitikai struktúrával, és ez a szerkezet (az izomorfizmusig ) egyedülálló. Előfordulhat azonban, hogy a -sokatóriumot nem lehet -struktúrával felruházni, és ha ez sikerül, akkor egy ilyen szerkezet nem egyedi. Például a -nem -izomorf -struktúrák száma egy -dimenziós gömbön: $C^\infty$ $C^\infty$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $C^{r}$ $0\leqslant r\leqslant k$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $C^{0}$ $C^1$ $\theta (n)$ $C^1$ $C^\infty$ $n$

$n$	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12
$\theta (n)$	egy	egy	egy		egy	egy	28	2	nyolc	6	992	egy

Megjeleníti

Legyen a -sokaságok folyamatos leképezése ; a sima sokaságok -morfizmusának (vagy -leképezésének, vagy az osztály leképezésének ) nevezzük, ha az X -en és Y -on lévő bármely diagrampár esetében, mint például a leképezés: $f:X\Y-ig$ $C^{r}$ $X,Y$ $C^k$ $C^k$ $k\leqslant r$ $C^k$ $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ $(V_{\beta },\psi _{\beta })$ $f(U_{\alpha })\subset V_{\beta}$

\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1)):\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta } (V_{\beta })

osztályhoz tartozik . A bijektív leképezést , ha -leképezésről van szó, izomorfizmusnak (vagy diffeomorfizmusnak ) nevezzük . Ebben az esetben az és és -struktúrájukat -izomorfnak mondjuk. $C^k$ $f$ $f^{-1}$ $C^k$ $C^k$ $x$ $Y$ $C^{r}$ $C^k$

Részhalmazok és beágyazások

A -dimenziós sokaság egy részhalmazát - dimenzió részsokaságának nevezzük , ha egy tetszőleges ponthoz létezik olyan -struktúra leképezés , amely és homeomorfizmust indukál egy (zárt) altérrel ; más szóval, van egy térkép koordinátákkal , amelyeket a relációk határoznak meg . $Y$ $n$ $C^k$ $x$ $C^k$ $m$ $x$ $y\-ban Y$ $(U,\phi )$ $C^k$ $x$ $y\in U$ $\phi$ $U\cap Y$ $\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $U\cap Y$ $x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0$

A leképezést - beágyazásnak nevezzük , ha egy -alsokaság a -diffeomorfizmusban . $f:X\Y-ig$ $C^k$ $f(X)$ $C^k$ $Y$ $X\ to f(X)$ $C^k$

Bármely -dimenziós sokaság engedélyezi a beágyazást a -ban és -ben is . Ezenkívül az ilyen beágyazások halmaza mindenhol sűrű a leképezési térben a kompakt nyitott topológiához képest . Így a sima sokaságoknak az euklideszi tér részsokaságainak való figyelembevétele adja az egyik módot elméletük tanulmányozására, így például a fentebb említett analitikus struktúrákra vonatkozó tételek felállítására kerül sor. $n$ $C^k$ $\mathbb{R} ^{{2n+1}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}.$ $C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}})$

Irodalom

Bourbaki N. Differenciálható és analitikus sokaság. Eredmények összefoglalása / per. franciából G. I. Olshansky. — M .: Mir, 1975. — 220 p.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometria: Módszerek és alkalmazások. - 2. kiadás, átdolgozva. - M . : Nauka, Ch. szerk. Fiz.-Matek. megvilágított. , 1986. - 760 p.
Kobayashi Sh., Nomizu K. A differenciálgeometria alapjai. - M. : Nauka, 1981. - T. 1. - 344 p.
de Ram J. Differenciálható elosztók / ford. franciából D. A. Vaszilkova. - M. : IL, 1956. - 250 p.
Leng S. Bevezetés a differenciálható sokaságok elméletébe / per. angolról. I. M. Dektyareva. — M .: Mir, 1967. — 203 p.
Narasimhan R. Elemzés valós és összetett sokaságon / per. angolról. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971. — 232 p.
Pontryagin LS Smooth sokaságok és alkalmazásaik a homotópiaelméletben. - 2. kiadás — M .: Nauka, 1976. — 176 p.
Postnikov M. M. Bevezetés a Morse-elméletbe. — M .: Nauka, 1971. — 568 p.
Rokhlin V. A. , Fuchs D. B. A topológia kezdeti menete. Geometrikus fejek. — M .: Nauka, 1977. — 487 p.
Whitney X. Geometriai integráció elmélet / per. angolról. I. A. Vainshtein. - M. : IL, 1960. - 355 p.
Wells R. Differenciálszámítás összetett elosztókon / per. angolról. szerk. B. S. Mityagin. - M . : Mir, 1976. - 284 p.