Lander-Parkin-Selfridge hipotézis

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. október 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A Lander-Parkin-Selfridge-sejtés a számelméletben egy feltevés a megoldások létezésének feltételeiről természetes számú egyenletekben egyenlő hatványú ismeretlenek összegére. Ezek az egyenletek Fermat utolsó tétele egyenleteinek általánosításai .

Háttér

A diofantinuszi egyenletek egész megoldásait, például a Pitagorasz-tételhez kapcsolódó egyenlet egész számú megoldását évszázadok óta tanulmányozták. Fermat utolsó tétele kimondja, hogy egész hatványok esetén az egyenletnek nincs megoldása természetes számokban . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $k>2$ $a^{k}+b^{k}=c^{k}$ $ABC$

1769-ben Leonhard Euler , miután megnövelte az egyenletben szereplő tagok számát, hipotézist terjesztett elő , amely általánosított formában arra a tényre vezet, hogy az egyenlet

{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k))

nincs megoldása természetes számokban, ha , kivéve a triviális esetet, amikor az egyenlet bal oldalán lévő gyökök az egyenlet jobb oldalán lévő gyökök permutációi . Az ilyen egyenleteket számhármasokkal jelölhetjük [1] . $k\geq m+n$ ${\megjelenítési stílus (k,m,n)}$

1966- ban Leon J. Lander és Thomas R. Parkin ellenpéldát talált Euler sejtésére [ 2] : $k = 5$

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

Az első ellenpéldát Noam Elkis találta 1988 -ban . [3] Az ugyanabban az évben talált legkisebb megoldás ( Roger Frye, 1988 ): $k=4$

414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},

Euler sejtése azonban nyitott marad . $k=6$

Hipotézis

1967 -ben Lander, Parkin és Selfridge azt javasolta 4] az egyenlet

{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k))

csak akkor lehet nem triviális megoldása természetes számokban . $k\leq m+n$

Fermat utolsó tétele magában foglalja a hipotézis érvényességét az esetre és a megoldások hiányát . $(k,2,1),k>3$ $(3,2,1)$

Egyes hatványok egyenleteinek megoldása nem csak számára , hanem számára is nehéz feladatnak bizonyul . Elosztott számítástechnikai projektek Az EulerNet [5] és a yoyo@home különféle projektekhez keres megoldásokat . ${\megjelenítési stílus (k,m,n)}$ $k=m+n$ $k<m+n$ ${\megjelenítési stílus (k,m,n)}$

Ismert megoldások ( k , m , n ), k = m + n

2006-tól a következő megoldások ismertek ( k , m , n ) esetén, ahol k = m + n : [6]

(4, 2, 2)

158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}

, végtelenül sok megoldás létezik.

(4, 1, 3)

{\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4))

, végtelenül sok megoldás létezik.

(5, 1, 4)

144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}

, 2 megoldás ismert.

(5, 2, 3)

14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}

, 1 megoldás ismert.

(6, 3, 3)

{\displaystyle 23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6))

, végtelenül sok megoldás létezik.

(8, 3, 5)

966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}

, 1 megoldás ismert.

(8, 4, 4)

3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}

, 1 megoldás ismert.

Néhány megoldás a ( k , k , 1)

k = 3

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

k = 4

{\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4))

( R. Norrie, 1911 ) [4]

k = 5

19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}

( Lander, Parkin, Selfridge, legkisebb, 1967 ) [4]

k = 6

Megoldások ismeretlenek.

k = 7

127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}

( M. Dodrill, 1999 )

k = 8

90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8} =1409^{8}

( Scott Chase 2000 )

k ≥ 9

Megoldások ismeretlenek.

Jegyzetek

↑ Maga Euler csak az esetet vette figyelembe ( k , m , 1 ).
↑ LJ Lander, T. R. Parkin. Ellenpélda Euler hasonló hatványösszegekről szóló sejtésére // Bull . amer. Math. szoc. : folyóirat. - 1966. - 1. évf. 72 . - 1079. o . - doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .
↑ Noam Elkies. On A 4 + B 4 + C 4 = D 4 (Rom.) // Számítási matematika. - 1988. - T. 51 , nr. 184 . - P. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
↑ 1 2 3 L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; Parkolás; selfridge. A hasonló hatványok egyenlő összegeinek felmérése // Számítási matematika : folyóirat. - 1967. - 1. évf. 21 , sz. 99 . - P. 446-459 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . — .
↑ EulerNet . Letöltve: 2015. augusztus 16. Az eredetiből archiválva : 2013. december 9.. (határozatlan)
↑ Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

Irodalom

Richard K Guy Megoldatlan problémák a számelméletben (határozatlan) . — 3. - New York, NY: Springer-Verlag , 2004. - P. D1. — (Matematikai feladatkönyvek). — ISBN 0-387-20860-7 .

Linkek

EulerNet archiválva : 2013. december 9. a Wayback Machine -nél
Euler sejtés archiválva : 2013. június 21. a Wayback Machine -nél
Hatványok egyenlő összegei – 2021. május 6-án archivált táblázatok a Wayback Machine -nél
Tito Piezas III: Algebrai identitások gyűjteménye archiválva 2011. október 1-én a Wayback Machine -nél
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--5th Powers (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--6th Powers (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--7th Powers (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--8th Powers (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Euler's Sum of Powers Conjecture (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. Euler Quartic Conjecture (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--4th Powers (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Euler sejtése a library.thinkquest.org webhelyen
Matematikusok új megoldásokat találtak egy ősi rejtvényre , archiválva 2015. július 11-én a Wayback Machine -nél