Herzog-Schoenheim hipotézis

A Herzog–Schönheim-sejtés egy kombinatorikus probléma a csoportelméletben , amelyet 1974-ben Marcel Herzog és Johanan Schoenheim [1] vetett fel .

Legyen egy csoport , és hagyjuk $G$

{\displaystyle A=\{a_{1}G_{1},\ \ldots ,\ a_{k}G_{k}\))

a csoport alcsoportjainak bal oldali cosetjeinek véges rendszere . ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$

Herzog és Schönheim úgy sejtették, hogy ha egy halmaz partícióját alkotja -val , akkor a (véges) indexek nem különböztethetők meg. Ha az indexek ismétlődése megengedett, könnyen felosztható a csoport bal oldali cosetekre - ha van a csoport bármely alcsoportja indexszel , akkor az alcsoport bal oldali cosetjeire bontható . $A$ $G$ $k>1$ $[G:G_{1}],\ldots ,[G:G_{k}]$ $H$ $G$ $k=[G:H]<\infty$ $G$ $k$ $H$

Szubnormális alcsoportok

2004 -ben Chiwei Sun bebizonyította a Herzog–Schönheim-sejtés kiterjesztett változatát arra az esetre, amikor az szubnormális a [2] -ben . A Sun bizonyításának fő lemma azt mondja, hogy ha szubnormálisak és véges indexük van -ben , akkor ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$ ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$

{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k} [G:G_{i}]

és ennek következtében,

P{\bigg (}{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i= 1}^{k}P([G:G_{i}]),

ahol a prímosztóinak halmaza . _ $P(n)$ $n$

Mirsky–Newman tétel

Ha egész számok additív csoportja , akkor a csoport társosztályai aritmetikai progressziók . Ebben az esetben a Herzog–Schönheim-sejtés azt állítja, hogy minden lefedő rendszernek , egy olyan aritmetikai sorozatnak, amely együttesen lefedi az összes egész számot, többször is le kell fednie néhány számot, vagy legalább egy olyan progressziópárt tartalmaznia kell, amelyeknek ugyanaz a különbsége. Ezt az eredményt 1950-ben Erdős Pál sejtésként terjesztette elő, majd nem sokkal később Leon Mirsky igazolta Donald J. Newmannel . Mirsky és Newman azonban soha nem tették közzé bizonyítékukat. Ugyanezt a bizonyítékot egymástól függetlenül találta meg Harold Davenport és Richard Rado . $G$ $\mathbb {Z}$ $G$ [3].

1970-ben a szovjet matematikai olimpián a Mirsky-Newman tételnek megfelelő geometriai színezési problémát javasoltak:

Tegyük fel, hogy egy szabályos sokszög csúcsai úgy vannak színezve, hogy bármely szín csúcsai szabályos sokszöget alkotnak. Ekkor két szín egyenlő sokszöget alkot [3] .

Jegyzetek

↑ Herzog, Schönheim, 1974 , p. 150.
↑ V, 2004 , p. 153–175.
↑ 12 Soifer , 2008 , p. 1–9.

Irodalom

M. Herzog, J. Schönheim. számú kutatási probléma. 9 // Kanadai Matematikai Értesítő. - 1974. - T. 17 . - S. 150 . . Amint a ( Sun 2004 )idézi
Zhi Wei Sun. A Herzog-Schönheim-sejtésről a csoportok egységes borítóira // Journal of Algebra. - 2004. - T. 273 , szám. 1 . – S. 153–175 . - doi : 10.1016/S0021-8693(03)00526-X . - arXiv : math/0306099 .
Sándor Soifer. A Matematikai kifestőkönyv: A színezés matematikája és alkotóinak színes élete . - New York: Springer, 2008. - P. 1-9 . — ISBN 978-0-387-74640-1 .