Geodéziai áramlás

A geodéziai áramlás egy gyűjtőcsonkon egy áramlás (vagy más szóval a difeomorfizmusok egyparaméteres csoportja ) egy érintőkötvényen, amelynek pályái a következők: minden vektor a hozzá tartozó geodéziai érintő mentén halad előre az időben, miközben érintője marad . ehhez a geodetikushoz . $M$ $TM$ $v$ $t$ $t$

Bizonyos értelemben az ilyen áramlás állandó sebességű mozgást általánosít az euklideszi térben . Azt is érdemes hangsúlyozni, hogy a geodéziai áramlás a név ellenére a dinamikus rendszerek értelmében vett áramlás, amely pontosan az érintőkötegben van meghatározva , nem pedig magán az elosztón . $\mathbb {R} ^{n}$ $TM$ $M$

Gyakran egy geodéziai áramlást tekintünk az egységnyi érintővektorok terén (mivel a vektor hossza megmarad egy geodéziai áramlás alatt). $T_1 M$

A geodéziai áramlási egyenlet egy Riemann-sokaságban a Hamilton-féle mechanika egyenleteként tekinthető nulla potenciális energiánál.

Példák

Amint fentebb említettük, egy szabványos euklideszi metrika esetében a geodéziai áramlás állandó sebességű mozgást határoz meg: ${{\mathbb {R}}}^{n}$

\Phi^t({X},{V})=( {X}+{V} t, {V}).

A geodéziai áramlás pályái a Lobacsevszkij-síkon mind előre, mind hátrafelé az abszolút értékre hajlanak.
A geodéziai áramlás egy negatív görbületű sokaságon Anosov-áramlásnak bizonyul : dinamikája kaotikus. Ennek egy sajátos esete a nemzetség Riemann-felületén történő áramlás, amely a Poincaré-metrikával van ellátva . $g>1$

Lásd még

Geodéziai
Fermat-elv
Oriciklikus áramlás

Irodalom

Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T., Modern geometria, v.2. Az elosztók geometriája. M.: Szerkesztői URSS, 1998.