Szabadesés ideje

A szabadesés ideje az a jellemző idő , amely alatt egy test összeomlik a gravitáció hatására , ha nincs más erő, amely ellenzi az összeomlást. Fontos szerepet játszik számos asztrofizikai folyamat időskálájának meghatározásában, mint például a csillagkeletkezés , a szupernóva-robbanások .

Képletek származtatása

Pontszerű gravitációs forrásra zuhanás

Könnyű levezetni a szabadesési idő képletét, ha a Kepler harmadik törvényét alkalmazzuk egy objektum elfajult elliptikus pályán történő mozgására . Tekintsünk egy tömegpontot egy pontszerű tömegforrástól távol , amelyre a pont a sugár mentén esik. Kepler harmadik törvényének képlete a fél-nagy tengelytől függ, és független az excentricitástól . A radiális pálya egy degenerált ellipszis példája, amelynek excentricitása 1 és fél-nagy tengelye egyenlő . Ezért az az idő, amely alatt a test leesik, elfordul és visszatér eredeti helyzetébe, megegyezik a körkörös sugarú pályán történő forgási idővel : $m$ $R$ $M$ $m$ $R/2$ $R/2$

t_{\text{orbit}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^ {3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)))}.

Annak megmagyarázására, hogy miért a fél-nagy tengely , megvizsgáljuk a pályák tulajdonságait az ellipticitás növekedésével. Kepler első törvénye kimondja, hogy a bolygó pályája egy ellipszis, amelynek fókusza a tömegközéppontban helyezkedik el. Ha nagyon kis tömeg nagyon nagy tömegre esik, akkor a rendszer tömegközéppontja a tömegtesten belül helyezkedik el . Az ellipticitás növekedésével az ellipszis fókusza egyre távolabb tolódik el a rendszer középpontjától. Egy degenerált ellipszis határesetében, amelynek excentricitása eggyel egyenlő, a pálya szegmenssé változik az objektum kezdeti helypontjától ( ) a tömeghelyzeti pontig . Más szóval, az ellipszis egy hosszúságú szegmenssé változik . A fél-főtengely az ellipszis hosszának fele a hosszú tengely mentén; ebben az esetben a fél-nagy tengely . $R/2$ $M$ $M$ $R$ $M$ $R$ $R/2$

Ha a zuhanó test teljes pályát tenne, akkor a mozgás a testtől távolabb kezdődne , majd a test a test felé esne , megkerülné és visszatérne eredeti helyzetébe. Valós rendszerekben a pontforrás nem pont, és a leeső test ütközést fog tapasztalni a felülettel. Következésképpen a lezuhanó test csak fél fordulatot tesz meg a pályáján. Mivel a pálya esésnek megfelelő része szimmetrikus a pálya azon részével, amely mentén a feltételezett visszatérés a kiindulási ponthoz történik, ezért a szabadesés időpontjának meghatározásához el kell osztani a forgási periódust a teljes félpályás pálya: $R$ $M$ $M$ $M$ $m$

t_{\text{ff}}=t_{\text{orbit}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt { 2G(M+m)}}}

Jegyezzük meg, hogy a képletben az az idő, amikor a tömeg egy nagy excentricitású pályára esik, amelyen belül a vonzási középpont körül egy gyors fordulatot tesznek, csaknem nulla távolságra, majd távolról visszatér a kiindulási helyzetébe , ahol ismét gyors fordulat következik be. Egy ilyen pálya egy majdnem egyenes vonalú mozgásnak felel meg a vonzási középponttól a vonzási középpont helyéig távol eső pontból . Mint fentebb említettük, a pálya fél-főtengelye egyenlő a távolságnak megfelelő körpálya sugarának felével . A keringési periódus egy olyan út áthaladásának felel meg, amelynek értéke kétszerese . Ekkor Kepler harmadik törvénye szerint, figyelembe véve, hogy a fél-nagy tengely a körpálya sugarának fele, kiderül, hogy a megnyúlt pályán a forgási periódus (1/2) 3/2 = (1 /8) A körpálya forgási periódusának 1 /2 -e, ahol a körpálya sugara megegyezik a prolate pálya maximális sugárvektorának hosszával. $t_{\text{orbit}}$ $R$ $R$ $R$ $R$

Esés gömbszimmetrikus tömegeloszlásra

Tekintsük azt az esetet, amikor ez nem egy pont, hanem egy kiterjesztett gömbszimmetrikus, átlagos sűrűségű test , $M$ $\rho$

{\displaystyle \rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3))))

hol van a gömb térfogata ${(4/3)\pi R^{3)).$

Tegyük fel, hogy az egyetlen ható erő a gravitáció. Ezután, amint azt Newton megmutatta, és az Ostrogradsky-Gauss képlet alkalmazásával megkaphatjuk , a vonzási tömeg középpontjától távol eső pontban a gyorsulás csak a sugarú gömbön belüli teljes tömegtől függ . A következmény a következõ tény: ha egy gömbszimmetrikus tömegeloszlású testet gömbhéjakra törünk, akkor azok a héjak összeomlása során úgy esnek le, hogy mozgás közben egyik következõ sem keresztezi az elõzõket. A nulla tömegű pont távolról való esési idejét a következő sugarú héjon belüli teljes tömeggel is kifejezhetjük : [1] $R$ $R$ $R$ $R$

t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0,5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\ simeq 66430{\frac {1}{\sqrt {\rho ))}\,{\rm {\text{s))},

az utolsó képletben a mennyiségek az SI rendszerben vannak kifejezve .

Jegyzetek

↑ Csillagszerkezet és evolúció Kippenhahn, Rudolf; Weigert, Alfred. Springer-Verlag, 1994, 3. kiadás. p.257 ISBN 3-540-58013-1

Galaktikus dinamika Binney, James; Tremaine, Scott. Princeton University Press, 1987.