Andronov-Hopf bifurkáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2018. november 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A dinamikus rendszerek elméletében az Andronov-Hopf bifurkáció egy vektormező lokális bifurkációja egy síkon, amely során egy szinguláris fókuszpont elveszti stabilitását, amikor egy összetett konjugált sajátértékpár áthalad a képzeletbeli tengelyen. Ebben az esetben vagy egy kis stabil határciklus születik egy szinguláris pontból ( lágy kihajlás ), vagy fordítva, a bifurkáció pillanatában egy kis instabil határciklus idáig összeomlik, és a bifurkáció utáni taszítási készletének mérete van. nullától elválasztva ( kemény kihajlás ).

Ahhoz, hogy ez a bifurkáció megtörténjen, elegendő a sajátértékek képzeletbeli tengelyen való áthaladása mellett bizonyos tipikus feltételeket előírni a rendszerre.

Az Andronov-Hopf bifurkáció és a nyereg-csomópont bifurkáció a vektormezők egyetlen lokális bifurkációja a síkon, amelyek tipikus egyparaméteres családokban fordulnak elő.

Definíció

Az Andronov-Hopf bifurkációt normál formának nevezik

{\cfrac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}),

ahol

$z\in \mathbb {C} \;,$
$\lambda$ - paraméter,
$\alpha$ a Ljapunov-együttható.

Ha negatív pozitív , akkor a bifurkáció szuperkritikus, ha pozitív negatív - szubkritikus. $\alpha$ $\lambda$ $\lambda$

Lágy és kemény kihajlás

A "puha" és a "kemény" kifejezések a rendszer viselkedésének "külső" szemlélő szempontjából történő leírásával, a rendszerparaméterek lassú (a rendszerdinamikai viszonyokhoz képest) fejlődésével, valamint a a rendszer zaját kis véletlenszerű perturbációk révén. A stabilitás lágy elvesztése esetén a megoldás az egyensúlyi helyzetből (amely instabillá vált) a határciklusba mozog - a megfigyelő az egyensúlyi helyzet közelében a rendszer állapotának periodikus „jitterét” fogja látni, ami megnő. növekvő paraméterrel. A "paraméter mozgásának" időskáláján azonban a megoldás "eltérései" folyamatosan nőnek. Ellenkezőleg, kemény stabilitásvesztés esetén a megoldás „hirtelen” felbomlik, és túllép a letűnt határciklus taszítási medencéjének határán: olyan időskálán élő megfigyelő szemszögéből, amelyben a paraméter változások, a megoldás hirtelen megváltoztatta a rendszert.

Irodalom

V. I. Arnold, V. S. Afraimovics, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Silnikov. Bifurkációk elmélete // Dinamikus rendszerek-5. A tudomány és a technológia eredményei. A matematika modern problémái. alapvető irányok. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
V. I. Arnold , A közönséges differenciálegyenletek elméletének további fejezetei, p. 243. M.: Nauka, 1978.