Gát funkció

A gátfüggvény egy folytonos függvény , amelynek értéke egy pontban a végtelenbe hajlik, ahogy a pont megközelíti a megvalósítható megoldások tartományának határát .

Az akadályfüggvényt az optimalizálási problémákban korrekciós kifejezésként használják annak biztosítására, hogy a megengedett tartományban vannak-e megoldások. Például amikor a függvény optimális értékét keressük , a változót korlátozhatjuk egy bizonyos állandónál szigorúan kisebb értékre , ha a függvényt helyettesítjük $f(x)$ $x$ $b$

f(x)-\log(bx).

Ugyanakkor a funkció

x\mapsto -\log(bx)

gát funkciót tölt be.

Az akadályfüggvények két leggyakrabban használt típusa az inverz akadályfüggvények és a logaritmikus akadályfüggvények. A logaritmikus gátfüggvények iránti megújult érdeklődés a kettős közvetlen belső pont módszerekkel való kapcsolatának köszönhető .

Logaritmikus akadályfüggvény

A logaritmikus gátfüggvények esetében a for és másképpen van definiálva (az 1. dimenzióban. A magasabb méreteket lásd alább). Ez a definíció azon a tényen alapul, hogy mínusz végtelenre hajlamos, amikor 0-ra hajlik. $g(x,b)$ $-\log(bx)$ $x<b$ $\infty$ $\log(t)$ $t$

Ez nagy gradiens értékeket ad a közeli optimalizált függvényhez , míg a függvénytől távoli változások alig változnak. $b$ $b$

A logaritmikus gátfüggvény helyett kényelmesebb lehet az inverz akadályfüggvény használata, amely kisebb számítási bonyolultságú, de ez az optimalizálandó függvénytől függ.

Ha több változó is van, akkor minden változóhoz hozzá kell adni egy akadályfüggvényt , amelyet szigorúan korlátoznia kell az add értékkel . $x_{i}$ $kettős}$ $-\log(b_{i}-x_{i})$

Formális definíció

Minimális körülmények között $\mathbf {c} ^{T}x$ $\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$

Szigorú korlátozásokat fogadunk el: $\{\mathbf {x} |Ax<b\}\neq \emptyset$

Határozza meg a logaritmikus akadályt! $\Phi (x)={\begin{cases}\sum _{i=1}^{m}-\log(b_{i}-a_{i}^{T}x),Ax<b \\+\infty ,Ax\geq b\end{cases}}$

Irodalom

George Nocedal, Stephen Wright. Numerikus optimalizálás. - New York, NY: Springer, 1999. - ISBN 0-387-98793-2 .
14. előadás: Barrier módszer archiválva 2015. november 23-án a Wayback Machine -en, Lieven Vandenberghe professzor, UCLA