Aritmetikai progresszió

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. október 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

Az aritmetikai progresszió az alak numerikus sorozata

a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \lpontok,\ a_1+(n-1)d, \ \lpontok

azaz egy számsor ( a progresszió tagjai ), amelyben minden szám a másodiktól kezdve az előzőből egy állandó szám ( lépés vagy progressziókülönbség ) hozzáadásával kerül elő: $d$

a_n=a_{n-1} + d\quad

A progresszió bármely ( n -edik) tagja kiszámítható az általános képlet segítségével:

a_n=a_1 + (n-1)d

Az aritmetikai sorozat egy monoton sorozat . Számára növekszik, esetében pedig csökken. Ha , akkor a sorozat stacionárius lesz. Ezek az állítások egy aritmetikai progresszió tagjainak összefüggéséből következnek. $d>0$ $d<0$ $d=0$ $a_{n+1}-a_n=d$

Tulajdonságok

Egy aritmetikai sorozat általános tagja

A képletek segítségével megkereshető egy számtani sorozat egy számmal rendelkező tagja $n$

a_n=a_1+(n-1)d

a_{n}=a_{m}-(mn)d

ahol a haladás első tagja, a különbsége, a számtani sorozat tagja .

a_{1}

d

a_m

m

Bizonyíték
Az arány segítségével egymás után felírjuk a progresszió több tagját, nevezetesen: $a_{n+1}=a_n+d$ $a_2=a_1+d$ $a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d$ $a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d$ $a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d$ Miután észrevettünk egy mintát, azt a feltételezést tesszük, hogy . A matematikai indukció segítségével megmutatjuk, hogy a feltevés mindenre igaz : $a_n=a_1+(n-1)d$ $n \in \mathbb N$ Az indukció alapja : $(n=1)$ $a_1=a_1+(1-1)d=a_1$ - igaz az állítás. Indukciós átvitel : Legyen igaz az állításunk -ra , azaz . Bizonyítsuk be az állítás igazát : $n=k$ $a_k=a_1+(k-1)d$ $n=k+1$ $a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$ Tehát az állítás -ra is igaz . Ez azt jelenti, hogy mindenki számára . $n=k+1$ $a_n=a_1+(n-1)d$ $n \in \mathbb N$

Egy aritmetikai progresszió jellemző tulajdonsága

A sorozat egy aritmetikai progresszió bármely elemére vonatkozóan, amely feltétel teljesül . $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $\Baljobbra nyíl$ $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2$

Bizonyíték
Szükséges : Mivel ez egy aritmetikai progresszió, a következő összefüggések teljesülnek: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $n \geqslant 2$ $a_n=a_{n-1}+d$ $a_n=a_{n+1}-d$ . Ezeket az egyenlőségeket összeadva és mindkét oldalt elosztva 2-vel, azt kapjuk, hogy . $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ Elegendőség : Megvan, hogy a sorozat minden elemére, a másodiktól kezdve, . Meg kell mutatni, hogy ez a sorozat egy aritmetikai sorozat. Alakítsuk át ezt a képletet formává . Mivel az összefüggések mindenkire igazak , ennek kimutatására matematikai indukciót használunk . $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$ $n \geqslant 2$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ Az indukció alapja : $(n=2)$ $a_2-a_1=a_3-a_2$ - igaz az állítás. Indukciós átvitel : Legyen igaz az állításunk -ra , azaz . Bizonyítsuk be az állítás igazát : $n=k$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ $n=k+1$ $a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$ De az induktív hipotézisből az következik, hogy . Ezt értjük $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$ Tehát az állítás -ra is igaz . Ez azt jelenti, hogy . $n=k+1$ $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n +1}-a_n$ Jelöljük ezeket a különbségeket . Tehát, , és ezért van . Mivel a reláció igaz a sorozat tagjaira , akkor ez egy aritmetikai progresszió. $d$ $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$ $a_{n+1}=a_n+d$ $n \in \mathbb N$ $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $a_{n+1}=a_n+d$

Egy aritmetikai sorozat első tagjainak összege $n$

Egy aritmetikai sorozat első tagjának összegét a képletekkel találhatjuk meg $n$ ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n))$

S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n

, ahol a progresszió első tagja , a számmal rendelkező tag, az összegzett tagok száma.

a_{1}

a_n

n

n

S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_ {1}}}+1)

- ahol - a progresszió első tagja, - a progresszió második tagja - a számmal rendelkező tag .

a_{1}

a_{2}

,a_{n}

n

S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n

, ahol a progresszió első tagja, a progresszió különbsége, az összegzett tagok száma.

a_{1}

d

n

Bizonyíték
Írjuk fel az összeget kétféleképpen: $S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$ $S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1$ - ugyanannyi, csak a feltételek fordított sorrendben mennek. Most hozzáadjuk mindkét egyenlőséget, egymás után hozzáadva a jobb oldalon lévő kifejezéseket, amelyek ugyanazon a függőlegesen állnak: $2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1) }+a_2)+(a_n+a_1)$ Mutassuk meg, hogy a kapott összeg minden tagja (minden zárójele) egyenlő. Általánosságban elmondható, hogy minden kifejezés kifejezhető: . Használjuk az aritmetikai sorozat közös tagjának képletét: $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n$ $a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n$ Azt találtuk, hogy minden tag nem függ a -tól, és egyenlő vele . Különösen, . Mivel vannak ilyen kifejezések , akkor $én$ $2a_1+(n-1)d$ $a_1+a_n=2a_1+(n-1)d$ $n$ $2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$ Az összeg harmadik képletét a helyettesítéssel kapjuk . Ami már közvetlenül következik a közös kifejezés kifejezéséből. $2a_1+(n-1)d$ $a_1+a_n$ Megjegyzés : Ehelyett az összeg első képletében bármelyik másik kifejezést használhatja , mivel mindegyik egyenlő egymással. $a_1+a_n$ $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n$

A -ediktől -edikig terjedő aritmetikai progresszió tagjainak összege $n$ $m$

A től- ig számokkal rendelkező aritmetikai sorozat tagjainak összegét a képletek segítségével találhatjuk meg $n$ $m$ ${\displaystyle S_{m,n}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+\ldots +a_{m))$

S_{m,n}={\frac {a_{m}+a_{n}}{2}}\cdot (m-n+1)

, ahol a kifejezés a számmal , a kifejezés a számmal és az összegzett tagok száma.

a_m

m

a_n

n

{\megjelenítési stílus (m-n+1)}

S_{m,n}={\frac {2a_{n}+d(mn)}{2}}\cdot (m-n+1)

, ahol a számmal rendelkező tag , a progresszió különbsége, az összegzett tagok száma.

a_n

n

d

{\megjelenítési stílus (m-n+1)}

Egy aritmetikai progresszió konvergenciája

Az aritmetikai progresszió pontban tér el, és pontban konvergál . És $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $d\ne 0$ $d=0$

\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{mátrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{mátrix }\jobb.

Bizonyíték
A közös tag kifejezésének felírása és a határérték vizsgálata után megkapjuk a kívánt eredményt. $\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)$

Az aritmetikai és a geometriai progresszió kapcsolata

Legyen egy aritmetikai progresszió különbséggel és számmal . Ekkor az alaksor egy nevezővel rendelkező geometriai progresszió . $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $d$ $a>0$ $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ $a^d$

Bizonyíték
Ellenőrizzük a kialakult geometriai progresszió jellemző tulajdonságát: $\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2$ Használjuk a kifejezést egy aritmetikai sorozat közös tagjára: $\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd} }=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d }=a^{a_n}, n\geqslant 2$ Tehát, mivel a jellemző tulajdonság fennáll, akkor egy geometriai progresszió. Ennek nevezője megtalálható például a relációból . $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ $q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$

Következmény : Ha a pozitív számok sorozata geometriai sorozatot alkot, akkor logaritmusaik sorozata aritmetikai sorozatot alkot.

Magasabb rendek aritmetikai progressziója

A másodrendű aritmetikai sorozat olyan számsorozat, amelyben a különbségeik sorozata maga is egyszerű számtani sorozatot alkot. Példa erre a természetes számok négyzeteinek sorozata :

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

amelyek különbségei egyszerű aritmetikai sorozatot alkotnak 2 különbséggel:

3, 5, 7, 9, 11, …

A háromszög számok másodrendű számtani sorozatot is alkotnak, különbségeik egyszerű számtani sorozatot alkotnak $1,3,6,10,15,\ldots$ $2,3,4,5,\ldots$

A tetraéder számok harmadrendű számtani sorozatot alkotnak, különbségeik háromszögszámok. $1,4,10,20,35,\ldots$

A magasabb rendűek előrehaladását hasonlóképpen határozzák meg. Különösen az n- edik hatványok sorozata alkot n- edik sorrendű számtani progressziót .

Ha a sorrend számtani progressziója , akkor van olyan polinom , amely minden egyenlőségre [1] $\left[a_{{i}}\right]_{{1}}^{{n}}$ $m$ $P_{{m}}(i)=c_{{m}}i^{{m}}+...+c_{{1}}i+c_{{0}}$ $i\in \left\{1,...n\right\}$ $a_{{i}}=P_{{m}}(i)$

Példák

A természetes sorozat egy aritmetikai sorozat, amelyben az első tag , a különbség pedig . A természetes sorozat első tagjainak összegét " háromszögszámnak " nevezik: $1, 2, 3, 4, 5, \lpont$ $a_1=1$ $d=1$ $n$

T_{n}=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2))

$1, -1, -3, -5, -7$ egy aritmetikai sorozat első 5 tagja, amelyben és . $a_1=1$ $d=-2$
Ha egy bizonyos sorozat minden eleme egyenlő egymással és egyenlő egy bizonyos számmal , akkor ez egy aritmetikai sorozat, amelyben és . Konkrétan van egy aritmetikai progresszió különbséggel . $a$ $a_1=a$ $d=0$ $\pi, \pi, \pi, \ldots$ $d=0$

A különbség képlete

Ha egy aritmetikai sorozat két tagját ismerjük, valamint a benne lévő számokat, akkor a különbséget a

{\mathit {d={\frac {a_{m}-a_{n}}{mn}}}}

A számok összege 1-től 100-ig

A legenda szerint az ifjú Gauss iskolai matematika tanára , hogy a gyerekeket sokáig lefoglalja, felkérte őket, hogy számolják meg a számok összegét 1-től 100-ig. Gauss észrevette, hogy az ellentétes végekből származó páros összegek megegyeznek: 1+100=101, 2+99=101, stb.

\frac{n(n+1)}2

vagyis a természetes sorozat első számainak összegének képletéhez. $n$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bronstein, 1986 , p. 139.

Irodalom

Bronshtein IN , Semendyaev KA Matematikai kézikönyv mérnököknek és középiskolásoknak . — M .: Nauka, 1986. — 544 p.

Linkek

Aritmetikai progresszió // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890. - T. II. - S. 98.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Brockhaus és Efron Brockhaus és Efron a világ körül Kis Brockhaus és Efron
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007531747705171 LCCN : sh85120238