Autonóm differenciálegyenletrendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Autonóm differenciálegyenletrendszer (más néven: stacionárius differenciálegyenletrendszer ) - a differenciálegyenlet-rendszer speciális esete , amikor a rendszer argumentuma nem szerepel kifejezetten a rendszert meghatározó függvényekben. $t$

Az autonóm rendszer normál formájában (más néven dinamikus rendszer) a következőképpen alakul:

{\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n

vagy vektoros jelöléssel:

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})

Csökkentés önálló formára

Bármely differenciálegyenlet-rendszer redukálható autonóm rendszerré, ha bevezetünk egy további segédfüggvényt , lecseréljük az argumentumot ott, ahol kifejezetten megjelenik, és a rendszert kiegészítjük egy további egyenlettel . Egy ilyen csere azonban túlnyomórészt elméleti jelentőségű, mivel a rendszer dimenzióját ról -ra növeli , ami bonyolítja a megoldáscsalád felépítését. Gyakorlati érdek fűződik azonban egy ilyen cseréhez. A merev rendszerek numerikus módszereiben célszerű áttérni az "ívhossz" argumentumra, ezt a következő összefüggéssel lehet megtenni , ami valójában az integrálgörbe ívhossza n + 1 dimenziós térben. $x_{{n+1}}$ $t$ ${\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1$ $n$ $n+1$ ${\displaystyle dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2))))$

Autonomous System Properties

Ha egy autonóm differenciálegyenlet-rendszer megoldása (vektor formában), akkor ez a függvény akkor is megoldás marad, ha az argumentum eltolódik. Az autonóm rendszer modellezi az autonóm folyamatokat, vagyis azokat a folyamatokat, amelyek nem vannak kitéve külső hatásoknak, és stacionárius folyamatokat, azaz időben kialakuló folyamatokat. Mindezeket a folyamatokat teljesen az állapotváltozók kezdeti értékei határozzák meg, azaz , és nem függenek az argumentum kezdeti értékének megválasztásától . ${\bar {x}}={\bar {x}}(t)$ $x_1,\pontok,x_n$ $t$

Lásd még

Homogén lineáris differenciálegyenletrendszer állandó együtthatókkal
A Cauchy-probléma egyedi megoldhatósága lineáris differenciálegyenlet-rendszerre
Az autonóm rendszer döntéseinek eltérése

Linkek

V. I. Arnold. Közönséges differenciálegyenletek.