Q Pochhammer szimbólum

A Q -Pochhammer szimbólum , amelyet eltolt q - faktoriálisnak is neveznek [1] [2] , a Pochhammer szimbólum q -analógja, és definíciója:

(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1- aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})

ahol

(a;q)_{0}=1

definíció szerint. A Q -Pochhammer szimbólum a fő építőelem a q -analógok felépítésében. Például az alapvető hipergeometrikus sorozatok elméletében a Pochhammer q -szimbólum azt a szerepet tölti be, amelyet a szokásos Pochhammer szimbólum az általánosított hipergeometrikus sorozatok elméletében .

A szokásos Pochhammer szimbólumtól eltérően a q -Pochhammer szimbólum egy végtelen termékre kiterjeszthető:

(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).

Ez q analitikus függvénye az egységkörön belül , és felfogható q formális hatványsoraként . különleges eset

\varphi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})

Euler-függvényként ismert, és fontos szerepet játszik a kombinatorikában , a számelméletben és a moduláris alakok elméletében .

Identitások

A végtermék a végtelennel fejezhető ki:

(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},

amely kiterjeszti a definíciót az n negatív egész számokra . Így a nem negatív n - re van

(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n))}=\prod _{k=1}^{n} {\frac {1}{(1-a/q^{k})}}

és

(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_ {n}}}.

A Q -Pochhammer szimbólum számos azonosságban szerepel a q sorozattal, különösen a sorozat végtelen bővítésében

(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2 }}{(q;q)_{n}}}x^{n}

és

{\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q; q)_{n}}}

amelyek a q-binomiális tétel speciális esetei :

{\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {( a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.

Friedrich Karpelevich a következő azonosságot találta (bizonyítást lásd Olshanetsky és Rogov cikkében [3] ):

{\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {( -1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.

Kombinatorikus értelmezés

A Q -Pochhammer szimbólum szorosan kapcsolódik a partíciók felsoroló kombinatorikájához. Együttható in ${\displaystyle q^{m}a^{n))$

{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1))

egyenlő m partíciók számával legfeljebb n részre.

Mivel ez ugyanaz, mint m -et felosztani részekre, amelyek mindegyike nem haladja meg az n -t, a következő azonosságot kapjuk:

(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q )_{k}}}

mint a fenti részben.

Együttható in ${\displaystyle q^{m}a^{n))$

(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})

egyenlő az m szám partícióinak számával n vagy n -1 különböző részre.

Ha egy ilyen partícióból eltávolítunk egy n − 1 részből álló háromszög alakú partíciót, akkor legfeljebb n részre maradunk . Ez egy súlymegőrző bijekciót ad egy n vagy n − 1 különböző részből álló partícióhalmaz és egy n − 1 részt tartalmazó háromszög alakú partícióból és egy legfeljebb n részből álló partícióból álló párok halmaza között. Ez az identitáshoz vezet:

(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j))}\right)a^{k}=\ összeg _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}

fentebb is leírtuk. A for inverz (1/f értelmében) függvénye hasonló módon keletkezik, mint a , számfelosztási függvény generátorfüggvénye , amely szintén a következő két q sorozatra bővül [4] : ${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty ))$ $p(n)$

{\frac {1}{(q;q)_{\infty ))}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0 }{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q ;q)_{n}^{2}}}.

Maga a Q-binomiális tétel is igazolható hasonló kombinatorikus argumentumok valamivel több felhasználásával.

Multiple Argument Convention

Mivel a Pochhammer-féle q -szimbólumokat használó identitások gyakran sok szimbólum szorzatát használják, a szorzatot szokás egyetlen szimbólumként írni több argumentummal:

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_ {n}\ldots (a_{m};q)_{n}.

Q -sorozat

A Q - sorozat olyan sorozat , amelyben az együtthatók q függvényei, általában [4] -es kifejezések formájában . A korai eredmények Eulernek , Gaussnak és Cauchynak köszönhetők . A szisztematikus vizsgálatot Eduard Heine (1843) [5] indította el . ${\displaystyle (a;q)_{n))$

Kapcsolat más q - függvényekkel

Ezt figyelembe véve

\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,

az n szám q -analógját , más néven q -zárójelet vagy az n szám q -számát definiáljuk ,

[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.

Innen definiálhatjuk a faktoriális q -analógját , a q - faktoriálist

${\big [}n]_{q}!$	${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q))$
	${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q))$
	$={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1 }}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$
	$=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})$
	$={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$

Megint azt tapasztalhatjuk, hogy a szokásos faktoriális egyenlő a határértékkel, mivel q 1-re hajlik. Ez úgy értelmezhető, mint egy n - dimenziós vektortérben lévő jelzők száma egy q elemű mező felett, és a q -t a határban átadjuk Az 1. ábra egy elemű mező feletti vektortérben zászlóként értelmezi a sorrendet .

A negatív egész q -zárójelek szorzata a következőképpen fejezhető ki a q -faktorál segítségével :

\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]_{q}!}{q^ {n(n+1)/2}}}

A q - faktoriálisokból továbbléphetünk a q -binomiális együtthatók , más néven Gauss-együtthatók , Gauss-polinomok vagy Gauss-binomiális együtthatók meghatározásához , az alábbiak szerint.

{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_ {q}!}},

ahonnan könnyen belátható, hogy ezeknek az együtthatóknak a háromszöge szimmetrikus abban az értelemben, hogy minden . ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\nm\end{bmatrix}}_{q}$ $0\leqslant m\leqslant n$

Meg lehet mutatni, hogy

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_ {q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k- 1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}

Az előző rekurzív összefüggésekből látható, hogy a -binomiális tétel következő változatai ezeknek az együtthatóknak a kiterjesztései [6] : $q$

{\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{ q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(- q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j }\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q} (-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m \\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}

Megszerezhetjük a gamma-függvény q - analógját , amelyet q-gamma-függvénynek nevezünk, és a következőképpen definiálunk

{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_ {\infty ))))

A függvény a szokásos gammafüggvényhez konvergál, mivel a q a lemez belsejéből 1-re hajlik. vegye észre, az

\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)

bármely x és

\Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.

n nem negatív egész értékeihez . Alternatív megoldásként a függvényt a q -faktoriális kiterjesztésének tekinthetjük a valós számok rendszerében.

Lásd még

Alap hipergeometriai sorozat
Elliptikus gamma függvény
Jacobi théta függvény
Pochhammer szimbólum
q-származék
q-theta függvény
Ötszögletű számtétel
Rogers-Ramanujan Identities
Rogers tovább tört - Ramanujan
q-Vandermonde identitás

Jegyzetek

↑ Koekoek, Swarttouw, 1998 , p. 7.
↑ Bahtyin, 2017 , p. 6-7.
↑ Olshanetsky, Rogov, 1996 .
↑ 2010. 12. Berndt .
↑ Heine, 1847 .
↑ Olver et al., 2010 , p. 421.

Irodalom

Koekoek R., Swarttouw RF A hipergeometrikus ortogonális polinomok Askey-sémája és analógja // Műszaki Matematikai és Informatikai Kar Jelentés 98-17. - Delft, Hollandia: Technische Universiteit Delft, 1998. - 7. o.
Bahtyin A.B. Valós polinom általánosított diszkriminánsának kiszámítása . - Moszkva, 2017. - S. 6-7. — (M.V. Keldyshről elnevezett IPM előnyomatai).
George Gasper, Mizan Rahman. Hipergeometriai alapsorozat // Matematika és alkalmazásai enciklopédiája. — 2. - Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - V. 96. - ISBN 0-521-83357-4 .
Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw. Az ortogonális polinomok Askey-sémája és q-analógjai .
Exton H. q-Hipergeometriai függvények és alkalmazások. - New York, Chichester: Halstead Press, Ellis Horwood, 1983. - ISBN 0853124914 .
Olshanetsky M.A., Rogov V.-B.K. Módosított Bessel q-függvények és Macdonald q-függvények // Matem. Szo. - 1996. - T. 187 , 10. sz . - S. 109-128 .
NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WJ Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - 17.2. szakasz: NIST, Cambridge University Press, 2010. - 421. o. - ISBN 978-0-521-19225-5 .
Berndt BC Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions and q-Series in the emlékére K. Venkatachaliengar: Bangalore, 2009. június 1–5. / ND Baruah, BC Berndt, S. Cooper, T. Huber és MJ Schlosser, szerk. .. - Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2010. - P. 31-51 .
Heine E. Untersuchungen über die Reihe // J. Reine Angew. Matek.. - 1847. - T. 34 . - S. 285-328 .

Linkek

Weisstein, Eric W. q -Analog (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. q -Bracket (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. q -Factorial (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. q -Series (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. q -Binomial Coefficient (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .