Lagrange-egyenletek (folyadékmechanika)

Lagrange-egyenletek (a hidromechanikában ) - összenyomhatatlan ideális folyadék részecskéinek mozgási differenciálegyenletei Lagrange-változókban , a következő formában:

\left(X-{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial x}{\partial a_{i))} +\left(Y-{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial y}{\partial a_{i))}+\ bal (Z-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2))}\right){\frac {\partial z}{\partial a_{i))}={\frac {1}{\varrho )){\frac {\partial p}{\partial a_{i))},\qquad (i=1,2,3),\qquad (1)

ahol az idő, , , a folyadékrészecske koordinátái, , , azok a paraméterek, amelyek alapján a közeg részecskéit megkülönböztetik egymástól (ezek a paraméterek lehetnek a , , koordináták értékei is idő ), , , a testerők vetületei, a nyomás, - sűrűség. J. L. Lagrange kapta 1780 körül. $t$ $x$ $y$ $z$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $x_{0}$ $y_0$ $z_{0}$ $t_0$ $x$ $Y$ $Z$ $p$ $\varrho$

A hidromechanika általános problémájának megoldása Lagrange-változókban , , , valamint a kezdeti és peremfeltételek ismeretére redukálódik, hogy meghatározzuk a , , , , mint az idő és a , , paraméterek függvényét . A probléma megoldásához hozzá kell adni az (1) egyenletekhez a folytonossági egyenletet , amelynek alakja Lagrange-változókban van, valamint a barotrop mozgásra vagy összenyomhatatlan folyadékra vonatkozó állapotegyenletet . Ha megtaláljuk a , , , , , függőségeket , akkor a részecskék pályáját, sebességét és gyorsulását a pontkinematika szokásos módszereivel határozzuk meg . $x$ $Y$ $Z$ $x$ $y$ $z$ $p$ $\varrho$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $\varrho =f(p)$ $\varrho =\mathrm {const}$ $x$ $y$ $z$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $t$

\varrho (a_{1},a_{2},a_{3},t){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial a_{1))}&{\frac {\partial y}{\partial a_{1))}&{\frac {\partial z}{\partial a_{1))}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{2)) }&{\frac {\partial y}{\partial a_{2))}&{\frac {\partial z}{\partial a_{2))}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}=\ varrho _{0}(a_{1},a_{2},a_{3},t_{0}){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{1} }}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{1}}}\\{\frac { \partial x_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial z_{0}}{ \partial a_{2))}\\{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{3}} }&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}\qquad \qquad (2)

Általában a hidromechanikai problémák megoldása során az Euler-egyenleteket használják . A Lagrange -egyenleteket főként a nem álló mozgások – különösen a folyadékok oszcilláló mozgásainak – tanulmányozására használják a turbulenciaelmélet egyes kérdéseiben .

Irodalom

Clark D., McChesney M. Valódi gázok dinamikája. — M .: Mir, 1967. — 566 p.
Kochin HE , Kibel I. A., Rose N. V. Elméleti hidromechanika. 1. rész 6. kiadás. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 584 p.
Kochin HE , Kibel I. A., Rose N. V. Elméleti hidromechanika. 2. rész 4. kiadás. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 728 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. 5. kiadás — M .: Nauka, 1988. — 736 p.
Loytsyansky L.G. Folyadék- és gázmechanika. - M . : Túzok, 2003. - 840 p. — ISBN 5-7107-6327-6 . .
Prandtl L. Hidroaeromechanika. — M .: Izd-vo inostr. irodalom, 1949. - 520 p.
Sedov L. I. Continuum Mechanics. 1. kötet . - M. : Nauka, 1970. - 492 p.
Sedov L. I. Continuum Mechanics. 2. kötet . — M .: Nauka, 1970. — 568 p.