Multipartticle Green funkciója

A soktest-elméletben a Green-függvény (vagy Green-függvény ) kifejezést néha a korrelációs függvény szinonimájaként használják, de ez a mezőoperátor-korrelátorokra vagy a létrehozási és megsemmisítési operátorokra utal .

A név a Green nem homogén differenciálegyenletek megoldására használt függvényeiből származik, amelyekkel laza kapcsolatban állnak. Pontosabban, csak a kétpontos Green-függvények nem kölcsönható rendszer esetén a matematikai értelemben vett Green-függvények; az általuk invertált lineáris operátor a Hamilton-operátor , amely nem kölcsönható esetben másodfokú a mezőoperátorokhoz képest.

Térbelileg homogén eset

Alapdefiníciók

Általában sok test elméletét vegyük figyelembe egy mezőoperátorral (koordinátaalapon írt annihilációs operátor) . $\psi (\mathbf {x} )$

A Heisenberg -operátorok a Schrödinger-operátorok szerint írhatók fel

\psi (\mathbf {x} ,t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} Kt}\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-\mathrm {i }Kt},

és a teremtés operátora , ahol a nagykanonikus együttes Hamilton -ja . ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\tőr }$ $K=H-\mu N$

Hasonlóan a képzeletbeli időben írt operátorokhoz

\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau }

{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )\mathrm { e} ^{-K\tau }.

Itt a teremtés operátora a képzeletbeli időben nem a megsemmisítési operátor hermitikus adjunktja . ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )$ $\psi (\mathbf {x} ,\tau )$

A valós idejű pont Green függvénye a következőképpen van definiálva $2n$

G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle {\hat {T))\psi (1)\ldots \psi (n ){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,

ahol a rövidítések használatosak, mely jelentések és jelentések is . Az operátor az idő operátor szerinti rendezés rövidítése , amely azt határozza meg, hogy az őt követő mezőoperátorokat úgy kell rendezni, hogy az idő argumentumaik jobbról balra növekedjenek. $j$ $(\mathbf {x} _{n},t_{n})$ $n'$ $(\mathbf {x} _{n}',t_{n}')$ ${\hat {T}}$

A képzeletbeli időre a megfelelő definíció a következő:

{\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle {\hat {T}}\psi (1)\ldots \psi ( n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,

ahol az index koordinátákat és időt jelent . A képzeletbeli időváltozók a -tól a reciprok hőmérsékletig terjedő tartományra korlátozódnak . $n$ $\mathbf {x} _{n},\tau _{n}$ $\tau_n$ $0$ $\beta ={\frac {1}{k_{B}T))$

Itt a Green-függvények előjeleit úgy választottuk meg, hogy a kétpontos ( ) Matsubara Green-függvény Fourier-transzformációja egy szabad részecskére egyenlő $n=1$

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\ mathbf {k} }}},

és a retardált Green funkciója az

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},

ahol

\omega _{n}={[2n+\theta (-\zeta )]\pi }/{\beta }\,,

ahol ω n a Matsubara-frekvenciák .

$\zeta$ egyenlő a bozonokra és a fermionokra , és a kommutátort vagy az antikommutátort jelöli a statisztikáktól függően . $+1$ $-egy$ ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta ))$

Kétpontos függvények

Az egy argumentumpárt tartalmazó Green függvényt ( ) kétpontos függvénynek vagy propagátornak nevezzük . Mind a térbeli, mind az időbeli transzlációs szimmetria jelenlétében csak az érvei különbségétől függ. A Fourier-transzformáció térben és időben megadja $n=1$

{\mathcal {G))(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})\mathrm {e} ^{\mathrm { i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')},

ahol a megfelelő Matsubara-frekvenciák összege (és az integrál egy implicit tényezőt is tartalmaz ). ${\displaystyle (L/2\pi )^{d))$

Valós időben az időrendű függvényt T felső index jelzi:

G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int { \frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega (tt')}.

A valós idejű kétpontos Green-függvény felírható „lemaradó” és „vezető” Green-függvényekkel, amelyekről kiderül, hogy egyszerűbb analitikai tulajdonságokkal rendelkeznek. A retardált és haladó Green funkcióit a következőképpen határozzuk meg

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t ),{\bar {\psi ))(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (tt')

G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t) ,{\bar {\psi ))(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),

illetőleg.

A relációval kapcsolódnak az időben rendezett Green függvényhez

G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} , \omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),

ahol

n(\omega )={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta \omega }-\zeta ))

a Bose-Einstein vagy Fermi-Dirac eloszlásfüggvény.

Rendezés képzeletbeli időben és β periodicitásban

A Matsubara Green függvényei csak akkor vannak definiálva, ha mindkét képzeletbeli idő argumentum a -ig terjedő tartományon belül van . A kétpontos Green függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik. (A koordinátákat és a lendületet ebben a részben kihagyjuk.) $0$ $\beta$

Először is, a zöld funkciója csak a képzeletbeli időkülönbségtől függ:

{\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').

Az érvelés között változik . $\tau -\tau '$ $-\beta$ $\beta$

Másodszor - ${\mathcal {G}}(\tau )$

ez egy (anti)periodikus függvény az eltolások tekintetében . A függvény definíciójának hatókörének kis mérete miatt ez azt jelenti $\beta$

{\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),

számára . Ennél a tulajdonságnál kulcsfontosságú az idő szerinti sorrend, amely a nyomkövetési művelet ciklikusságával közvetlenül igazolható. $0<\tau <\beta$

Ezt a két tulajdonságot figyelembe veszik az előre és az inverz Fourier transzformáció ábrázolásakor,

{\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }\mathrm {d} \tau \,{\mathcal {G}}(\tau ) \,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{n}\tau }.

${\mathcal {G}}(\tau )$ folytonossági hiánya van a következő helyen : ez összhangban van a hosszú távú viselkedéssel . $\tau=0$ ${\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|$

Spektrális ábrázolás

A valós és imaginárius időszaporítót a spektrális sűrűséggel (vagy spektrális tömeggel) a képlet alapján viszonyítjuk

\rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\ alfa }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left( \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right),

ahol | Az α ⟩ a H − μN nagykanonikus együttes Hamilton-féle többrészecske sajátállapotára utal E α sajátértékkel .

Ekkor a képzeletbeli időben terjedő propagátort adjuk meg

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega ' }{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}~,

és a retardált propagátor

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{ 2\pi )){\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega ')),

ahol a határértéket a . ${\displaystyle \eta \rightarrow 0^{+))$

A vezető terjesztőt ugyanaz a kifejezés adja meg, de a nevezőben egy tag szerepel. $-\mathrm {i} \eta$

Az időrendű függvényt és kifejezésekkel fejezhetjük ki . Amint fentebb említettük, és egyszerű analitikai tulajdonságokkal rendelkezik: az első (utolsó) minden pólusa és szakadása az alsó (felső) félsíkon található. $G^{\mathrm {R} }$ $G^{\mathrm {A} }$ $G^{\mathrm {R} }(\omega )$ $G^{\mathrm {A} }(\omega )$

A Matsubara propagátornak minden pólusa és folytonossági pontja van a képzeletbeli tengelyeken. ${\mathcal {G}}(\omega _{n})$ $\omega_{n}$

A spektrális sűrűség meghatározható a Sochacki-Weierstrass tétel általánosított függvényekre történő felhasználásával. $G^{\mathrm {R} }$

\lim _{\eta \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} \eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi\delta(x),

ahol P a Cauchy-integrál főértékét jelöli . Ez oda vezet

\rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operátornév {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).

Ezenkívül a valós és képzeletbeli részei között a következő kapcsolatnak engedelmeskedik: $G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )$

\operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm { d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\operátornév {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},

ahol az integrál főértékét jelöli. $P$

A spektrális sűrűség megfelel az összegszabálynak,

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,

amely a formában adja meg az aszimptotikumokat

G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |))

at . $|\omega |\rightarrow \infty$

Hilbert transzformáció

A Green-függvények képzetes és valós idejű spektrális reprezentációinak hasonlósága lehetővé teszi a függvény definiálását.

G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},

amihez és hogyan kapcsolódik ${\mathcal {G}}$ $G^{\mathrm {R} }$

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,\mathrm {i} \omega _{n})

szintén

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +\mathrm {i} \eta ).

Hasonló kifejezés érvényes erre is . $G^{\mathrm {A} }$

A és közötti kapcsolatot Hilbert-transzformációnak nevezzük . $G(\mathbf {k} ,z)$ $\rho (\mathbf {k} ,x)$

A spektrális ábrázolás bizonyítása

A Matsubara Green-függvény propagátorának spektrális reprezentációjának bizonyítására a következőt definiáljuk:

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\ bar {\psi ))(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .

A transzlációs szimmetria miatt csak az alakban megadottakat kell figyelembe venni ${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)$ $\tau >0$

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf { 0} ,0)\mid \alpha '\rangle .

A sajátállapotok teljes halmazának behelyettesítése oda vezet

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \ alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .

mivel és sajátállapotok , a Heisenberg operátorok átírhatók a Schrödinger operátorok szerint $|\alpha \rangle$ $|\alpha '\rangle$ $H-\mu N$

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha , \alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\mathrm {e} ^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha ' \mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .

A Fourier-transzformáció után azt kapjuk

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '} \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha ')){\frac {1-\zeta \mathrm {e} ^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha )))) ) {-\mathrm {i} \omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '))}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \ alfa \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .

Az impulzus megőrzése lehetővé teszi, hogy az utolsó tagot a formába írjuk (a lehetséges térfogati együtthatókig)

|\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},

ami megerősíti a Green függvények kifejezéseit a spektrális reprezentációban.

Az összegszabály a kommutátor várható értékének figyelembevételével igazolható,

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid \mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)} [\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,

majd a sajátállapotok teljes halmazát behelyettesítjük mindkét kommutátortagba:

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\left(\ langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).

A címkék cseréje az első kifejezésben azt adja

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}} -\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\ tartomány |^{2}~,

ami a ρ integrálásának eredménye .

Nem interakciós eset

A nem kölcsönható részecskék esetében egy sajátállapot (nagy kanonikus együttes) energiával , ahol az egyrészecske-diszperziós reláció a kémiai potenciálhoz képest mérve. Tehát a spektrális sűrűség $\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle$ ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} ))$ $\xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu$

\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k } }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\tőr }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}.

Kommutációs relációkból

\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,

lehetséges térfogati tényezőkkel. Az összeg, amely magában foglalja a részecskeszám-operátor termikus átlagát, akkor egyenlő , és az eredmény: $[1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z))$

\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).

Tehát a propagátor a képzeletbeli időből

{\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\ mathbf {k} }}}

és a retardált propagátor

G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _ {\mathbf {k} }}}.

Nulla hőmérsékleti határérték

Ahogy β → ∞, a spektrális sűrűség alakot ölt

\rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )|\langle \ alfa \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\rangle |^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )|\ langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle |^{2}\right]

ahol α = 0 az alapállapotnak felel meg. Itt csak az első (második) tag járul hozzá, ha ω pozitív (negatív).

Általános eset

Alapdefiníciók

Általános esetben a "mező operátorokat" használjuk, mint fent, vagy más egyrészecske állapotokhoz, esetleg (nem kölcsönhatásba lépő) kinetikus energia sajátállapotokhoz társított létrehozási és megsemmisítési operátorokat. Használt

\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),

ahol az egyrészecskés állapotmegsemmisítési operátor , és ennek az állapotnak a hullámfüggvénye a koordinátaábrázolásban. Ez ad ${\displaystyle \psi _{\alpha ))$ $\alpha$ $\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )$

{\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\ tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1))(\tau _ {1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}' )\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle

ugyanazzal a kifejezéssel a . ${\displaystyle G^{(n)))$

Kétpontos függvények

A kétpontos Green függvények csak az idő argumentumaik különbségétől függenek, tehát

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{ \mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ') }

és

G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\ ,G_{\alpha \beta }(\omega )\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega (tt')}.

A lemaradó és vezető zöld függvények kézenfekvő módon definiálhatók; a fentiekhez hasonlóan kapcsolódnak az időrendhez.

A fent leírt periodicitási tulajdonságok vonatkoznak a -ra . Kimondottan, ${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }$

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')

és

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),

számára . $\tau <0$

Spektrális ábrázolás

Ebben az esetben,

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}- E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \ left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}\right),

ahol és vannak sokrészecskés állapotok. $m$ $n$

A Green függvények kifejezései nyilvánvaló módon módosulnak:

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}

és

G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{ 2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}}.

Analitikai tulajdonságaik azonosak. A bizonyítást pontosan ugyanígy hajtjuk végre, azzal a különbséggel, hogy ez a két mátrixelem már nem összetett konjugátum.

Nem kölcsönhatásba lépő eset

Ha a kiválasztott egyrészecske-állapotok „egy részecske energia sajátállapotok”, azaz

[H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },

akkor for egy sajátállapot: $|n\rangle$

(H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,

így van : $\psi _{\alpha }\mid n\rangle$

(H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,

és hasonlóan ehhez : $\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle$

(H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^ {\dagger }\mid n\range .

Tehát a mátrix elem

\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _ {\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n \rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .

moeno átírni a formában

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\ alfa }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta ))\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\tőr }\mid m\rangle \mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _ {\alpha }}\jobbra),

Következésképpen

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha } -\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),

segítségével

\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\tőr }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle

valamint az a tény, hogy a részecskeszám operátor termikus átlaga Bose-Einstein vagy Fermi-Dirac eloszlásfüggvényt ad.

Végül a spektrális sűrűséget a kifejezésre egyszerűsítjük

\rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },

tehát a Matsubara Green funkciója

{\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-\mathrm {i} \omega _ {n}+\xi _{\béta ))))

és a retardált Green funkciója az

G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\beta }}}.

A nem kölcsönhatásba lépő Green függvénye átlós, de kölcsönhatásban nem ez a helyzet.

Ajánlások

Könyvek

Bonch -Bruevich VL, Tyablikov SV (1962): Green-függvény módszer a statisztikai mechanikában. North Holland Publishing Co.
Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinskii I. E. (1963): Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics Englewood Rocks: Prentice-Hall.
Naegele, J. W. és Orland, H. (1988): Quantum systems of many particles, Addison-Wesley.
Zubarev D. N. , Morozov V., Ropke G. (1996): Nem egyensúlyi folyamatok statisztikai mechanikája: alapfogalmak, kinetikai elmélet (1. kötet). John Wiley & Sons. ISBN 3-05-501708-0 .
Mattuck, Richard D. (1992), Útmutató a Feynman-diagramokhoz a sok test problémájában , Dover Publications, ISBN 0-486-67047-3 .

Cikkek

Bogolyubov N. N. , Tyablikov S. V. Lag and advance Green-függvények a statisztikai fizikában, Dokl. 4 , 589 (1959).
D. N. Zubarev , Kétszeres Green-függvények a statisztikai fizikában , Uspekhi Mat. Nauk 3: 3 (1960), 320-345.

Linkek

Lineáris válaszfüggvények : Eva Pavarini, Eric Koch, Dieter Vollhardt és Alexander Lichtenstein (szerk.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014. ISBN 978-3-89336-953-9