Levi-Prokhorov metrika

A Levi-Prokhorov- metrika ( Prohorov- metrika ) a véges valószínűségi mértékek terének mérőszáma ; Jurij Prohorov vezette be 1956 -ban a Levy-metrika általánosításaként ( amit Paul Levy határoz meg 1937-ben).

Egy mérhető tér összes véges valószínűségi mértékének terén van definiálva , ahol egy metrikus tér és egy Borel-szigma-algebra van rajta. Egy részhalmaz esetében az epszilon környékét a következőképpen határozzuk meg: ${\mathcal {P}}(M)$ ${\megjelenítési stílus (M,{\matematikai {B))(M))}$ ${\megjelenítési stílus (M,d)}$ ${\mathcal {B}}(M)$ $A\subseteq M$ $A$

A^{\varepsilon }:=\{p\in M\mid \exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{ \varepsilon }(p)

ahol van egy nyitott golyó , amelynek sugara középpontja . A mérőszám meghatározása a két valószínűségi mérték közötti távolság beállításával történik, és így: $B_{\varepsilon }(p)$ $\varepsilon$ $p$ $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ $\mu$ $\nu$

{\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \forall (A\in {\mathcal {B))(M))\,\mu (A) \leqslant \nu (A^{\varepszilon })+\varepsilon \ \wedge \ \nu (A)\leqslant \mu (A^{\varepszilon })+\varepszilon \jobbra\))

Nyilvánvalóan a valószínűségi mérőszámokhoz . $\pi (\mu ,\nu )\leqslant 1$

Tulajdonságok

Ha a tér szeparálható , akkor a Lévi-Prohorov metrika mértékeinek konvergenciája megegyezik a mértékek gyenge konvergenciájával . Így a valószínűség gyenge konvergenciájának topológiájának metrizálása -on . ${\megjelenítési stílus (M,d)}$ $\pi$ ${\mathcal {P}}(M)$

A metrikus tér akkor és csak akkor szeparálható , ha elválasztható. $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ ${\megjelenítési stílus (M,d)}$

Ha egy tér teljes , akkor a teljes tér is az. Ha minden mértéknek van elválasztható támasza a mértéknek , akkor a fordított állítás is igaz: ha teljes, akkor teljes. Különösen ez a helyzet akkor, ha elválasztható. $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ ${\megjelenítési stílus (M,d)}$ ${\mathcal {P}}(M)$ ${\megjelenítési stílus (M,d)}$ $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ ${\megjelenítési stílus (M,d)}$

Ha elválasztható és teljes, akkor egy részhalmaz akkor és csak akkor viszonylag kompakt tér , ha a -zárás -compact . ${\megjelenítési stílus (M,d)}$ ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ $\pi$ $\pi$

Ha elválasztható, akkor hol van Qi Fan mérőszáma [1] [2] . ${\megjelenítési stílus (M,d)}$ $\pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y)\mid {\text{Law))(X)=\mu ,{\text{Law))(Y) =\nu\}$ ${\displaystyle \alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0\mid \mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leqslant \varepsilon \))$

Jegyzetek

↑ Dudley, 1989 , p. 322
↑ Račev, 1991 , p. 159

Irodalom

Levy - Prokhorov metrika - Matematikai enciklopédia cikk . V. M. Zolotarev
Patrick Billingsley. Valószínűségi mérőszámok konvergenciája . - N. Y .: John Wiley & Sons, 1999. - ISBN 0-471-19745-9 .
RM Dudley. Valós elemzés és valószínűség. - Pacific Grove, Kalifornia: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. - ISBN 0-534-10050-3 .
Svetlozar T. Račev. Valószínűségi metrikák és sztochasztikus modellek stabilitása. - Chichester: Wiley, 1991. - ISBN 0-471-92877-1 .