Identitásmátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az identitásmátrix egy négyzetmátrix , amelynek főátlójának elemei egyenlők a mezőegységgel , a többi pedig nullával.

Definíció

Egy méretű (sorrendű) négyzetmátrixot , ahol tetszőleges , és tetszőleges esetén, sorrendű identitásmátrixnak nevezzük [1] . $E_{n}=(e_{{ij}})$ $n$ $e_{{ii}}=1$ $i\in \overline {1,n}$ $e_{{ij}}=0$ $i\neq j$ $n$

Az identitásmátrix definiálható olyan mátrixként is, amelyre , ahol a Kronecker szimbólum [1] . $(e_{{ij}})$ $e_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ $\delta _{{ij}}$

Az identitásmátrix a skaláris mátrix egy speciális esete .

Megnevezés

A méret azonossági mátrixát általában a következőképpen jelölik : $n\szer n$ $E_{n}$

E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmátrix)),

Egy másik jelölés is használatos: . $Ban ben}$

Ha a szövegkörnyezetből egyértelmű, hogy mekkora méretű a mátrix, akkor a (sorrendet jelző) alsó index kimarad: , [1] . $E$ $én$

Tulajdonságok

Bármely mátrix és egy megfelelő méretű identitásmátrix szorzata egyenlő magával a mátrixszal [1] :

AE=EA=A

A nulla hatvány négyzetes mátrixa azonos méretű identitásmátrixot ad [1] :

A^{0}=E

Ha egy mátrixot megszorozunk az inverzével , akkor az azonosságmátrixot is megkapjuk [2] :

AA^{-1}=A^{-1}A=E

Az azonosságmátrixot úgy kapjuk meg, hogy egy ortogonális mátrixot megszorozunk annak transzponált mátrixával [3] :

AA^{T}=E

Az identitásmátrix meghatározója eggyel egyenlő:

{\mathrm {det}}\,E=1

Példák

Az elsőrendű azonosságmátrixok alakja

E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix)),\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),\ E_{3}={\ kezdődik{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 Gantmakher, 1966 , p. 24.
↑ Gantmakher, 1966 , p. 27.
↑ Gantmakher, 1966 , p. 238.

Irodalom

Gantmakher, F. R. Mátrixelmélet . - 2. kiadás, további .. -M .:Nauka, 1966. - 576 p.
Lásd: Lineáris algebrai hivatkozások

Lásd még

Nulla mátrix

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb