Bezier görbe

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. május 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 26 szerkesztést igényelnek .

A Bezier-görbék olyan típusú görbék, amelyeket a XX. század 60-as éveiben javasoltak függetlenül Pierre Bezier a Renault autógyártó cégtől és Paul de Casteljo a Citroen cégtől, ahol ezeket karosszériák tervezésére használták.

Bár de Casteljou felfedezésére valamivel korábban került sor, mint Bézier felfedezésére (1959), kutatásait a vállalat csak az 1960-as évek végéig publikálta és titokban tartotta .

A Bézier-görbe a Bernstein-polinomok speciális esete , amelyet Szergej Natanovics Bernstein orosz matematikus írt le 1912-ben.

A görbéket először 1962 -ben Pierre Bézier francia mérnök mutatta be a nagyközönségnek , aki de Casteljot-tól függetlenül fejlesztette ki őket, és az autó karosszériájának számítógépes tervezésére használta őket . A görbék Béziers nevéhez fűződnek, az általa a görbék meghatározására kidolgozott rekurzív módszer (de Casteljo algoritmusa) pedig de Casteljo nevéhez fűződik .

Később ez a felfedezés a számítógéppel segített tervezőrendszerek és számítógépes grafikai programok egyik legfontosabb eszközévé vált .

Definíció

Legyen megadva a feletti dimenziótérben a vezérlőpontok sorrendje , ahol és for . $\mathbb {R} ^{m}$ $m\geqslant 1$ $\mathbb {R}$ $(\mathbf {P} _{0},\ldots ,\mathbf {P} _{n})$ $n\geqslant 0$ $\mathbf {P} _{k}=(x_{1,k},\ldots ,x_{m,k})$ $k=0,\ldots ,n$

Ezután a kifejezésekkel paraméteresen megadott koordinátákkal rendelkező pontok halmaza ${\displaystyle \left\{\mathbf {B} (t)|0\leqslant t\leqslant 1\right\))$ $\mathbf {B} (t)=(z_{1}(t),\ldots ,z_{m}(t))$ ${\megjelenítési stílus (z_{j}(t))_{j=1,\ldots ,m))$

z_{j}(t)=\sum _{k=0}^{n}x_{j,k}b_{k,n}(t)\quad

ahol a for , _

\quad 0\leqslant t\leqslant 1,\quad

\quad j=1,\ldots ,m,\quad

\quad b_{k,n}(t)={n \choose k}t^{k}(1-t)^{nk}\quad

\quad k=0,\ldots ,n

úgynevezett Bezier - görbét .

Egy paraméterhez viszonyított fokszámú polinomot a Bézier-görbe bázisfüggvényének (amely a vezérlőpontnak felel meg ) vagy Bernstein-polinomnak nevezzük . $b_{k,n}(t)$ $n$ $t$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k))$

Itt látható a kombinációk száma től ig . ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}$ $n$ $k$

Jegyzetek

A mindkettőnek megfelelő Bezier - görbe a pont . $(\mathbf {P} _{0})$ $(\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{0},\ldots ,\mathbf {P} _{0})$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{0))$
A párnak megfelelő Bezier-görbe , azaz pontban egy (lineárisan) paraméterezett szakasz, amely összeköti a (at ) pontot a (at ) ponttal . $(\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1})$ $n=1$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{0))$ $t=0$ $\mathbf {P} _{1}$ $t=1$
A Bezier-görbe tetszőleges sorrendben tartalmaz egy pontot (ez a paraméter képe ) és egy pontot (ez a paraméter képe ). $n\geqslant 0$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{0))$ $t = 0$ $\mathbf {P} _{n}$ $t=1$
A Bezier-görbe (általános esetben, ha nem degenerált ponttá ) orientálható, mivel ez egy orientált szakasz képe . A vezérlőpont sorozatok a Bezier-görbéknek felelnek meg, amelyek ponthalmazként egybeesnek, de (általában) ellentétes orientációjúak. ${\displaystyle \mathbf {P} _{0))$ $[0;1]$ $(\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\ldots ,\mathbf {P} _{n-1},\mathbf {P} _{n})$ $(\mathbf {P} _{n},\mathbf {P} _{n-1},\ldots ,\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{0})$
A Bezier-görbék megfelelnek a vezérlőpontok sorozatának, és nem egyeznek a -nál. $(\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2})$ $(\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{2},\mathbf {P} _{1})$ $\mathbf {P} _{1}\neq \mathbf {P} _{2}$
Ha változol , csak akkor . $(x_{j,0},\ldots ,x_{j,n})$ $z_{j}(t)$

A Bezier-görbék típusai

Lineáris görbék

Ha n = 1, a görbe egy egyenes szakasz, a P 0 és P 1 referenciapontok határozzák meg a kezdetét és a végét. A görbét a következő egyenlet adja meg:

{\mathbf {B}}(t)=(1-t){\mathbf {P}}_{0}+t{\mathbf {P}}_{1}\quad t\in [0,1]

Másodfokú görbék

Egy másodfokú Bezier-görbét (n = 2) három rögzítési pont határoz meg: P 0 , P 1 és P 2 .

{\mathbf {B}}(t)=(1-t)^{{2}}{\mathbf {P}}_{0}+2t(1-t){\mathbf {P}}_{1 }+t^{{2}}{\mathbf {P}}_{2},\quad t\in [0,1]

A spline -ekben lévő négyzetes Bezier-görbék a karakterek alakjának leírására szolgálnak TrueType betűtípusokban és SWF - fájlokban.

t={\frac {{\mathbf {P}}_{0}-{\mathbf {P}}_{1}\pm {\sqrt {({\mathbf {P}}_{0}-2{ \mathbf {P}}_{1}+{\mathbf {P}}_{2}){\mathbf {B}}+{\mathbf {P}}_{1}^{2}-{\mathbf {P}}_{0}{\mathbf {P}}_{2}}}}{{\mathbf {P}}_{0}-2{\mathbf {P}}_{1}+{\ mathbf {P}}_{2}}},\quad {\mathbf {P}}_{0}-2{\mathbf {P}}_{1}+{\mathbf {P}}_{2} \neq 0

t={\frac {{\mathbf {B}}-{\mathbf {P}}_{0}}{2({\mathbf {P}}_{1}-{\mathbf {P}}_{ 0})}},\quad {\mathbf {P}}_{0}-2{\mathbf {P}}_{1}+{\mathbf {P}}_{2}=0,\quad { \mathbf {P}}_{0}\neq {\mathbf {P}}_{1}

t={\sqrt {{\frac ({\mathbf {B}}-{\mathbf {P}}_{0}}{{\mathbf {P}}_{2}-{\mathbf {P}} _{1}}}},\quad {\mathbf {P}}_{0}={\mathbf {P}}_{1}\neq {\mathbf {P}}_{2}

Köbös görbék

Paraméteres formában egy köbös Bezier-görbét (n = 3) a következő egyenlet ír le:

{\mathbf {B}}(t)=(1-t)^{3}{\mathbf {P}}_{0}+3t(1-t)^{2}{\mathbf {P}}_ {1}+3t^{2}(1-t){\mathbf {P}}_{2}+t^{3}{\mathbf {P}}_{3},\quad t\in [0 ,egy]

A 2 vagy 3 dimenziós térben megadott négy referenciapont P 0 , P 1 , P 2 és P 3 határozza meg a görbe alakját.

Az egyenes a P 0 pontból indul ki, P 1 felé tart és a P 3 pontban ér véget, a P 2 oldalról közelítve . Vagyis a görbe nem megy át a P 1 és P 2 pontokon , ezek az irányát jelzik. A P 0 és P 1 közötti szakasz hossza határozza meg, hogy a görbe milyen gyorsan fordul P 3 -ba .

Mátrix formában egy köbös Bézier-görbe a következőképpen van felírva:

{\mathbf {B}}(t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\mathbf {M}}_{B}{\begin{bmátrix }{\mathbf {P}}_{0}\\{\mathbf {P}}_{1}\\{\mathbf {P}}_{2}\\{\mathbf {P}}_{3 }\end{bmatrix}}

ahol az alap Bezier-mátrixot nevezik: ${\mathbf {M}}_{B}$

{\mathbf {M}}_{B}={\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmátrix}}

A modern grafikus rendszerek és formátumok, mint például a PostScript (valamint az Adobe Illustrator és az azon alapuló Portable Document Format (PDF) formátumok ), a Scalable Vector Graphics (SVG) [1] , a Metafont , a CorelDraw és a GIMP Bezier spline-t használnak az ívelt ábrázoláshoz alakzatok. , köbös görbékből áll.

Bezier-görbék építése

Lineáris görbék

A Bezier-görbe lineáris esetét leíró függvény t paramétere pontosan meghatározza, hogy a P 0 és P 1 B ( t ) távolságban pontosan hol található . Például t = 0,25-nél a B ( t ) függvény értéke a P 0 és P 1 pontok közötti távolság negyedének felel meg . A t paraméter 0-ról 1-re változik, és B ( t ) egy szakaszt ír le a P 0 és P 1 pontok között .

Másodfokú görbék

Másodfokú Bezier-görbék készítéséhez ki kell választani két Q 0 és Q 1 közbenső pontot abból a feltételből, hogy a t paraméter 0 és 1 között változik:

A Q 0 pont P 0 -ról P 1 - re változik, és egy lineáris Bezier-görbét ír le.
A Q 1 pont P 1 -ről P 2 - re változik, és egy lineáris Bezier-görbét is leír.
A B pont Q 0 -ról Q 1 - re változik, és egy másodfokú Bezier-görbét ír le.

Magasabb fokú görbék

A magasabb rendű görbék készítéséhez ennek megfelelően több köztes pontra van szükség. Köbös görbe esetén ezek a Q 0 , Q 1 és Q 2 közbenső pontok, amelyek lineáris görbéket írnak le, valamint az R 0 és R 1 pontok , amelyek másodfokú görbéket írnak le: egyszerűbb egyenlet . ${\frac {P_{0}Q_{0}}{P_{0}P_{1}}}={\frac {Q_{1}P_{1}}{P_{1}P_{2} }}={\frac {BR_{0}}{R_{1}R_{0}}}$

A negyedik fokú görbéknél ezek a lineáris görbéket leíró Q 0 , Q 1 , Q 2 és Q 3 pontok, a másodfokú görbéket leíró R 0 , R 1 és R 2 , valamint a köböst leíró S 0 és S 1 pontok. Bezier görbék:

Bezier-görbe tulajdonságai

a szegmenskitöltés folytonossága a kezdő- és végpontok között;
a görbe mindig a vezérlőpontokat összekötő vonalak által alkotott ábrán belül helyezkedik el;
csak két vezérlőponttal a szakasz egy egyenes;
egy egyenes vonalat képeznek a vezérlőpontok kollineáris (egy egyenesen) elhelyezésével;
a Bezier-görbe szimmetrikus, vagyis a kezdő- és végpontok közötti helycsere (a pálya irányának megváltoztatása) nem befolyásolja a görbe alakját;
a Bezier-görbe skálázása és arányainak megváltoztatása nem sérti annak stabilitását, mivel matematikai szempontból " affin invariáns";
legalább egy pont koordinátáinak megváltoztatása a teljes Bezier-görbe alakjának megváltozásához vezet;
a Bezier-görbe bármely részleges szakasza Bezier-görbe is;
a görbe foka (sorrendje) mindig egy lépéssel kisebb, mint a kontrollpontok száma. Például három vezérlőpont esetén a görbe alakja parabola , mivel a parabola egy másodrendű görbe;
egy kör nem írható le parametrikus Bezier-görbeegyenlettel;
lehetetlen párhuzamos Bezier-görbék létrehozása, kivéve triviális eseteket (egyenesek és egybeeső görbék), bár vannak olyan algoritmusok, amelyek a gyakorlathoz elfogadható pontossággal hozzávetőlegesen párhuzamos Bezier-görbét építenek fel.

Alkalmazások a számítógépes grafikában

A könnyű beállítás és manipuláció miatt a Bezier-görbék széles körben alkalmazhatók a számítógépes grafikában a sima vonalak modellezésére. A görbe teljes egészében a referenciapontjainak domború testén belül van. A Bezier-görbéknek ez a tulajdonsága egyrészt nagyban leegyszerűsíti a görbék metszéspontjainak megtalálását (ha a horgonypontok konvex héjai nem metszik egymást, akkor maguk a görbék sem metszik egymást), másrészt , lehetővé teszi a görbe paramétereinek intuitív vezérlését a grafikus felületen a rögzítési pontjai segítségével. Ezen kívül affin görbe transzformációkat ( transzláció , skálázás , elforgatás stb.) is végre lehet hajtani a megfelelő transzformációk rögzítési pontokra történő alkalmazásával.

A legfontosabbak a második és harmadik fokú (négyzetes és köbös) Bezier-görbék. A magasabb fokú görbék a feldolgozás során több számítást igényelnek, és gyakorlati célokra ritkábban használják őket. Összetett alakzatú vonalak felépítéséhez az egyes Bezier-görbék szekvenciálisan kapcsolhatók egymáshoz egy Bezier - spline -ban . Annak érdekében, hogy két görbe találkozásánál egyenletes vonal legyen, mindkét görbe három szomszédos rögzítési pontjának ugyanazon az egyenesen kell lennie. A vektorgrafikus programokban , például az Adobe Illustratorban vagy az Inkscape -ben az ilyen töredékeket „útvonalak”-nak ( path ), a 3DS Max és hasonló 3D modellező programokban pedig „spline”-nek nevezik.

Másodfokú Bézier-görbék átalakítása köbös görbékké

A koordinátákkal rendelkező másodfokú Bezier-görbét a rendszer egy koordinátákkal rendelkező kockaméteres Bezier-görbévé alakítja . $(x_{0};y_{0}),\,(x_{1};y_{1}),\,(x_{2};y_{2})$ $(x_{0};y_{0}),\,\left(x_{0}+{\frac {2\cdot (x_{1}-x_{0})}{3));y_{0} +{\frac {2\cdot (y_{1}-y_{0})}{3}}\right),\,\left(x_{1}+{\frac {x_{2}-x_{1 }}{3}};y_{1}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{3}}\right),\,(x_{2};y_{2})$

Bezier-görbék mintavételi gyakorisága [2]

A mintavételi gyakoriság a következőképpen van meghatározva:

$|B_{next}-B_{prev}|=1$

, vagyis minden következő pontnak 1-gyel (mondjuk egy pixellel) el kell térnie az előzőtől. Sőt, ha így kérdezed : $B$

$\left\vert \sum _{k=0}^{n}{{\frac {n!}{k!\times (nk)!}}\times t_{next}^{k}\times (1-t_{next})^{nk}\times P_{k}}-\sum _{k=0}^{n}{{\frac {n!}{k!\times (nk)!} }\times t_{prev}^{k}\times (1-t_{prev})^{nk}\times P_{k}}\right\vert =1$

Rajta keresztül lehet számolni . $\Delta {t}$

Oldjuk meg ezt az egyenletet az elsőrendű Bezier-görbékre (lineáris):

$B(t)=(1-t)\times P_{0}+t\times P_{1},0\leq t\leq 1$

$B(t)={\begin{cases}x=(1-t)\times P_{0_{x}}+t\times P_{1_{x}}\\y=(1-t) \times P_{0_{y}}+t\times P_{1_{y}}\end{cases}}$

Írjuk fel a pontok különbségét egy tengelyre:

${\left\vert P_{0}-t_{next}\times P_{0}+t_{next}\times P_{1}-P_{0}+t_{prev}\times P_{0} -t_{előző}\times P_{1}\right\vert }=1$

Vegyük ki a gyakori tényezőket a zárójelekből:

${\left\vert t_{next}\times (P_{0}-P_{1})-t_{prev}\times (P_{0}-P_{1})\right\vert }=1$

Keressük meg : $\Delta {t}$

$\Delta {t}={\left\vert t_{next}-t_{prev}\right\vert }=\left\vert {\frac {1}{P_{0}-P_{1)) }\right\vert$

így kiszámíthatja a mintavételi gyakoriságot egy bizonyos sorrendű Bezier-görbe adott tengelyének bejárásához. Azaz 16 ilyen egyenletet kell beszerezni a Bezier-görbékhez 1-től 16-ig, mindig pontokkal van beállítva, elég lesz behelyettesíteni a koordinátáikat a kapott egyenletbe, hogy a görbét a minimális egyértelmű diszkretizációs szinttel megkerüljük. .

Lásd még

Jegyzetek

↑ World Wide Web Consortium ( W3C ). Scalable Vector Graphics (SVG) 1.1 (második kiadás). 8. fejezet: Ösvények (angolul) (2011. augusztus 16.). — W3C ajánlás. Hozzáférés dátuma: 2012. május 21. Az eredetiből archiválva : 2012. június 24.
↑ Algoritmusok: Bezier-görbék . designermanuals.blogspot.com . Letöltve: 2021. január 9. Az eredetiből archiválva : 2021. január 12. (határozatlan)

Irodalom

Rogers D., Adams J. A számítógépes grafika matematikai alapjai. - M .: Mir, 2001.

Linkek

Wolfram Math World Bézier - görbe
Amerikai Matematikai Társaság Béziertől Bernsteinig
Bezier-görbék a számítógépes játékokban [1] (rus.)
Óra a Bezier-görbéken (orosz)
Primer a Bezier-görbéken

Görbék

Definíciók

Átalakult

Nem síkbeli

Lapos
algebrai

Kúpos szakaszok

3. rend ( köbös )

Elliptikus	Elliptikus görbe Jacobi elliptikus függvények Elliptikus integrál Elliptikus függvények
Egyéb	Verziera Agnesi Descartes lap Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Félköbös parabola Háromágú szigony Dioklész ciszoidja

4. rend

Lemniscates

Közelítés

Spline
- B-spline
- Kocka alakú
- monospline
- Simítás
- Tökéletes
- Remete
beziers

Cikloid

Egyéb

Görbe Farm

Lapos
transzcendentális

Spirálok	Arkhimedov Tanya Galilea Hiperbolikus "Pálca" Aranysárga clothoid logaritmikus szinuszos
Cikloid	trochoid Ciklois Epitrochoid Epicikloid Hypotrochoid Hipocikloid Quasitrohoid "Rózsa" quadrifolium Gyors ereszkedés (brachistochrone, cycloid ív)
Egyéb	Quadratrix cochleoid Üldözés traktor trochoid láncvonal fordított ívű állandó szélesség szinuszos Ribokura Szuper formula Szuperellipszis Reuleaux háromszög poligon Lissajous figurák

fraktál

Egyszerű	Gilbert Gosper sárkánygörbe Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topológiai	Sierpinski szalvéta Sierpinski szőnyeg Szivacs Menger kör alakú fraktál Apollonius szőnyeg