Epsilon hálózat

A metrikus tér részhalmazához tartozó ε - hálózat ( epsilon -hálózat , ε -sűrű halmaz) egy ugyanabból a térből származóhalmaz, így bármely ponthozvan egy olyan pont,amely legfeljebb ε távolságra van -tól . $M$ $x$ $Z$ $x$ $x\-ben M$ $z\in Z$ $x$

Kapcsolódó definíciók

Egy metrikus teret, amelyben mindegyikhez létezik véges hálózat, teljesen korlátosnak nevezzük . $\varepsilon> 0$ $\varepsilon$

Egy halmazon lévő metrikát teljesen korlátosnak mondjuk, ha teljesen korlátos metrikus tér. $\rho$ $x$ $(X,\rho)$

Univerzálisan teljesen korlátosnak nevezzük a metrikus terek azon családját , amelyben bármelyikhez létezik olyan természetes szám , amelyben minden tér legfeljebb pontból álló hálózatot enged meg . $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon >0$ $N_\varepszilon$ $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon> 0$ $N_\varepszilon$
- Az ilyen családokra a Gromov-féle tömörségi tétel analógja érvényes .

Egy teljesen korlátos metrikus térrel homeomorf topológiai teret metrizálható, teljesen korlátos metrikának nevezünk .

Példák

A standard metrika esetében a racionális számok halmaza egy ε -hálózat a valós számok halmazához bármely ε > 0 esetén .
Az egész számok halmaza a valós számok halmazának ε -hálózata $\varepsilon\ge 0{,}5$

Tulajdonságok

Egy metrikus térnek akkor és csak akkor van egyenértékű , teljesen korlátos metrikája, ha elválasztható .
Egy topológiai tér akkor és csak akkor mérhető egy teljesen korlátos metrikával, ha reguláris és kielégíti a második megszámlálhatósági axiómát .
A metrikus tér akkor és csak akkor kompakt , ha teljes és teljesen korlátos. Egy kicsit általánosabb megfogalmazásban a Hausdorff-féle tömörségi tétel kimondja, hogy ahhoz, hogy egy metrikus tér részhalmaza viszonylag kompakt legyen , az szükséges, és ha a tér teljes , akkor elegendő, ha bármelyik elemhez létezik véges ε -háló. a készletből . $M$ $x$ $x$ $\varepsilon > 0$ $M$

Bizonyíték

Szükség

Legyen a halmaz (viszonylag) kompakt. Bármely elemet javítunk és figyelembe veszünk . Ha bármelyikre , akkor egy elemből már létrejött egy véges ε -hálózat. Egyébként van egy olyan elem , hogy . További két lehetőség van. Vagy a számok legalább egyikére, vagy kisebb, mint , és akkor két elem véges ε -hálója már fel van építve, vagy van olyan elem , hogy , és így tovább. Mutassuk meg, hogy a pontalkotás folyamata véges számú lépés után véget ér, ami azt jelenti, hogy véges ε -háló készül. Ha ez nem így lenne, akkor egy olyan sorozatot kapnánk , amelyhez at . Ekkor azonban sem maga a sorozat, sem annak egyik részsorozata nem tud konvergálni, ami ellentmond a halmaz tömörségének . Tehát egy kompakt halmazhoz szerkesztettünk egy véges ε -hálót, amelynek pontjai magához a halmazhoz tartoznak. $M$ $\varepsilon > 0$ $x_{1} \in M$ $\rho(x, x_{1}) < \varepszilon$ $x \-ben M$ $x_{2} \in M$ $\rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $x \-ben M$ $\rho(x, x_{1})$ $\rho(x, x_{2})$ $\varepsilon$ $x_{3} \in M$ $\rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $\rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon$ $x_{1}, x_{2}, \ldots$ $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$ $\rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon$ $i \neq j$ $\{ x_{n} \},$ $M$ $M$

Megfelelőség

Tegyük fel, hogy bármelyikhez létezik ε -net a halmazhoz . Vegyünk egy numerikus sorozatot , ahol mindegyikhez és mindegyikhez létrehozunk egy -hálózatot . Tekintsünk egy tetszőleges sorozatot . Mivel van -net az elemhez, akkor bármilyen elemről is legyen szó, legalább egy elemre ez lesz . Ezért bármely elem legalább egy golyóba esik , vagyis a teljes készlet , és még inkább a teljes sorozat ezekben a golyókban található. Mivel véges számú golyó van, és a sorozat végtelen, van legalább egy golyó , amely a sorozatunk végtelen részsorozatát tartalmazza. Ez az érvelés megismételhető . Készítsünk egy átlós részsorozatot . Mutassuk meg, hogy ez a sorozat önmagában konvergál. Mivel és for szerepelnek a -edik részsorozatban, és a -edik részsorozat szerepel a golyóban , akkor for . Feltételezhető, hogy a hely megtelt. Ezért a sorozat önmagában való konvergenciájából következik a konvergenciája egy bizonyos határig, és ez bizonyítja a konvergens részsorozat kiválasztásának lehetőségét bármely sorozatból, vagyis a halmaz (relatív) tömörségét [1] $\varepsilon > 0$ $M$ $\mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g}$ $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ $n \jobbra \infty$ $n$ $\varepsilon_{n}$ $N_{n} = \{z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \lpontok, z_{m_{n}}^{(n)} \}$ $\{ x_{n} \} \in M$ $N_{1}$ $\varepszilon_{1}$ $M$ $x \-ben M$ $\rho(x, z_{i}^{(1)}) < \varepsilon_{1}$ $z_{i}^{(1)} \in N_{1}$ $x \-ben M$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepszilon_{1}), i=1, 2, \lpont, m_{1}$ $M$ $\{ x_{n} \}$ $\{ x_{n} \}$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepszilon_{1})$ $\{ x_{n}^{(1)} \}$ $N_{m}, m = 2, 3, \lpont$ $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \lpontok, x_{k}^{(k)}, \lpontok$ $x_{k}^{(k)}$ $x_{k+p}^{(k+p)}$ $p>0$ $k$ $k$ $S(z_{i}^{(k)}, \varepszilon_{k})$ $\rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0$ $k \jobbra \infty$ $x$ $\{ x_{k}^{(k)} \}$ $\{ x_{n} \}$ $M.$

Egy teljes metrikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha bármely benne található kompakt ε -háló létezik . $\varepsilon> 0$

Jegyzetek

↑ Sobolev V.I. Előadások a matematikai elemzés további fejezeteiről. - M .: Nauka, 1968 - 59. o.

Irodalom

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Metrikus geometria tanfolyam. Moscow-Izhevsk: Institute for Computer Research, 2004, 512 pp. ISBN 5-93972-300-4 .
Engelking, R. Általános topológia. — M .: Mir , 1986. — 752 p.